Една употреба на a хи-квадратно разпределение е с тестове за хипотеза за многочленни експерименти. За да видите как това тест за хипотеза работи, ще проучим следните два примера. И двата примера работят чрез един и същ набор от стъпки:
- Формирайте нулевите и алтернативните хипотези
- Изчислете статистиката на теста
- Намерете критичната стойност
- Вземете решение дали да отхвърлите или да не отхвърлите нулевата ни хипотеза.
Пример 1: Справедлива монета
За първия си пример искаме да разгледаме монета. Справедливата монета е с еднаква вероятност 1/2 от издигане на глави или опашки. Хвърляме монета 1000 пъти и записваме резултатите от общо 580 глави и 420 опашки. Искаме да тестваме хипотезата с 95% ниво на увереност, че монетата, която обърнахме, е справедлива. По-официално, нулева хипотезаН0 е, че монетата е справедлива. Тъй като сравняваме наблюдаваните честоти на резултатите от хвърляне на монета с очакваните честоти от идеализирана честна монета, трябва да се използва тест-квадрат.
Изчислете статистиката на Chi-Square
Започваме с изчисляването на статистиката на хи-квадрат за този сценарий. Има две събития, глави и опашки. Главите имат наблюдавана честота на е1 = 580 с очаквана честота от д1 = 50% х 1000 = 500. Опашките имат наблюдавана честота от е2 = 420 с очаквана честота от д1 = 500.
Сега използваме формулата за статистиката на хи-квадрат и виждаме, че χ2 = (е1 - д1 )2/д1 + (е2 - д2 )2/д2= 802/500 + (-80)2/500 = 25.6.
Намерете критичната стойност
След това трябва да намерим критичната стойност за правилното разпределение на чи-квадрат. Тъй като има два резултата за монетата, има две категории за разглеждане. Броят на степени на свобода е една по-малка от броя на категориите: 2 - 1 = 1. Използваме хи-квадратното разпределение за този брой степени на свобода и виждаме, че χ20.95=3.841.
Да откажете или не успеете да откажете?
И накрая, сравняваме изчислената хи-квадратна статистика с критичната стойност от таблицата. От 25.6> 3.841 отхвърляме нулевата хипотеза, че това е честна монета.
Пример 2: Честна смърт
Справедливата матрица е с еднаква вероятност 1/6 от търкаляне на едно, две, три, четири, пет или шест. Преобръщаме матрица 600 пъти и отбелязваме, че ние търкаляме едно 106 пъти, две 90 пъти, три 98 пъти, четири 102 пъти, пет 100 пъти и шест 104 пъти. Искаме да тестваме хипотезата с 95% ниво на увереност, че имаме честна смърт.
Изчислете статистиката на Chi-Square
Има шест събития, всяко с очаквана честота 1/6 x 600 = 100. Наблюдаваните честоти са е1 = 106, е2 = 90, е3 = 98, е4 = 102, е5 = 100, е6 = 104,
Сега използваме формулата за статистиката на хи-квадрат и виждаме, че χ2 = (е1 - д1 )2/д1 + (е2 - д2 )2/д2+ (е3 - д3 )2/д3+(е4 - д4 )2/д4+(е5 - д5 )2/д5+(е6 - д6 )2/д6 = 1.6.
Намерете критичната стойност
След това трябва да намерим критичната стойност за правилното разпределение на чи-квадрат. Тъй като има шест категории резултати за матрицата, броят на степента на свобода е един по-малък от този: 6 - 1 = 5. Използваме чи-квадратното разпределение за пет степени на свобода и виждаме, че χ20.95=11.071.
Да откажете или не успеете да откажете?
И накрая, сравняваме изчислената хи-квадратна статистика с критичната стойност от таблицата. Тъй като изчислената хи-квадратна статистика е 1.6 е по-малка от критичната ни стойност от 11.071, ние не успее да отхвърли нулевата хипотеза.