Как да използвате правилото за допълване в статистиката

В статистиката правилото за допълване е теорема, която осигурява връзка между вероятността на a събитие и вероятността за допълване на събитието по такъв начин, че ако знаем една от тези вероятности, автоматично знаем и другата.

Правилото за допълване е полезно, когато изчисляваме определени вероятности. Много пъти вероятността за дадено събитие е объркана или сложна за изчисляване, докато вероятността за нейното допълване е много по-проста.

Преди да видим как се използва правилото за допълване, ще дефинираме конкретно какво е това правило. Започваме с малко нотация. Допълнението на събитието А, състоящ се от всички елементи в примерно пространствоС които не са елементи от множеството А, се обозначава с А° С.

Правилото за допълване е посочено като "сумата от вероятността на дадено събитие и вероятността за неговото допълване е равна на 1", както е изразено със следното уравнение:

P (А^{° С}) = 1 - P (А)

Следващият пример ще покаже как да използвате правилото за допълване. Ще стане очевидно, че тази теорема ще ускори и опрости изчисленията на вероятностите.

Да предположим, че обърнем осем справедливи монети - каква е вероятността да имаме поне една глава? Един от начините да разбера това е да се изчислят следните вероятности. Знаменателят на всеки се обяснява с факта, че има 2⁸ = 256 резултата, всеки от тях еднакво вероятен. Всички следващи ни формула за комбинации:

• Вероятността да се обърне точно една глава е C (8,1) / 256 = 8/256.
• Вероятността да се обърне точно на две глави е C (8,2) / 256 = 28/256.
• Вероятността да се обърне точно на три глави е C (8,3) / 256 = 56/256.
• Вероятността да се обърне точно четири глави е C (8,4) / 256 = 70/256.
• Вероятността да се обърне точно пет глави е C (8,5) / 256 = 56/256.
• Вероятността да се обърне точно на шест глави е C (8,6) / 256 = 28/256.
• Вероятността да се обърне точно на седем глави е C (8,7) / 256 = 8/256.
• Вероятността да се обърне точно осем глави е C (8,8) / 256 = 1/256.

Това са взаимно изключващи се събития, така че сумираме вероятностите заедно, използвайки едно подходящо правило за добавяне. Това означава, че вероятността да имаме поне една глава е 255 от 256.

Сега изчисляваме същата вероятност, като използваме правилото за допълване. Допълнението на събитието „Ние обърнем поне една глава” е събитието „Няма глави.” Има един начин това да се случи, като ни дава вероятността 1/256. Използваме правилото за допълване и установяваме, че желаната от нас вероятност е едно минус едно от 256, което е равно на 255 от 256.

Този пример демонстрира не само полезността, но и силата на правилото за допълване. Въпреки че няма нищо лошо в първоначалното ни изчисление, то беше доста ангажирано и изискваше няколко стъпки. За разлика от това, когато използвахме правилото за допълване за този проблем, нямаше толкова много стъпки, при които изчисленията могат да се объркат.