Какво е пресечната точка на два комплекта?

Когато се занимаваме с теория на множествата, има редица операции за създаване на нови набори от стари. Една от най-разпространените зададени операции се нарича пресичане. Просто казано, пресечната точка на две множества А и B е съвкупността от всички елементи, които и двете А и B имаме общо.

Ще разгледаме подробности относно пресечната точка в теорията на множествата. Както ще видим, ключовата дума тук е думата „и“.

За пример как образува пресечната точка на две множества a нов комплект, нека разгледаме комплектите А = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. За да намерим пресечната точка на тези две множества, трябва да разберем какви елементи имат общо. Числата 3, 4, 5 са ​​елементи от двете множества, следователно пресечните точки на А и B е {3. 4. 5].

В допълнение към разбирането на понятията, отнасящи се до теоретичните операции, е важно да може да се четат символи, използвани за означаване на тези операции. Символът за пресичане понякога се заменя с думата „и“ между две групи. Тази дума предполага по-компактната обозначение за пресечка, която обикновено се използва.

Символът, използван за пресичане на двата множества А и B се дава от А ∩ B. Един от начините да запомните, че този символ ∩ се отнася до пресичане е да забележите приликата му с главна буква А, която е кратка за думата „и“.

За да видите тази нотация в действие, вижте горния пример. Тук имахме комплектите А = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Така че бихме написали зададеното уравнение А ∩ B = {3, 4, 5}.

Една основна идентичност, която включва пресичането, ни показва какво се случва, когато вземем пресечната точка на всеки набор с празния набор, обозначен с # 8709. Празният комплект е комплектът без елементи. Ако няма елементи в поне един от множествата, на които се опитваме да намерим пресечната точка, тогава двата множества нямат общи елементи. С други думи, пресечната точка на всеки набор с празният комплект ще ни даде празния комплект.

Тази идентичност става още по-компактна с използването на нашата нотация. Имаме самоличност: А ∩ ∅ = ∅.

За другата крайност, какво се случва, когато изследваме пресечната точка на множеството с универсалния набор? Подобно на думата вселена се използва в астрономията, за да означава всичко, универсалният набор съдържа всеки елемент. От това следва, че всеки елемент от нашия набор също е елемент от универсалния набор. Така пресечната точка на всяко множество с универсалния набор е множеството, с което започнахме.

Отново нашата нотация идва на помощ, за да изразим тази идентичност по-кратко. За всеки комплект А и универсалния комплект U, А ∩ U = А.

Има много повече зададени уравнения, които включват използването на операцията на пресичане. Разбира се, винаги е добре практика използвайки езика на теорията на множествата. За всички комплекти А, и B и д ние имаме:

• Рефлексивна собственост: А ∩ А =А
• Комутативна собственост: А ∩ B = B ∩ А
• Асоциативна собственост: (А ∩ B) ∩ д =А ∩ (B ∩ д)
• Дистрибуторска собственост: (А ∪ B) ∩ д = (А ∩ д)∪ (B ∩ д)
• Законът на DeMorgan I: (А ∩ B)^{° С} = А^{° С} ∪ B^{° С}
• Законът на DeMorgan II: (А ∪ B)^{° С} = А^{° С} ∩ B^{° С}