Прям пример за условен вероятност е вероятността една карта, изтеглена от стандартна тесте карта, е крал. Има общо четири краля от 52 карти и така вероятността е просто 4/52. Свързано с това изчисление е следният въпрос: „Каква е вероятността да нарисуваме крал предвид това вече сме изтеглили карта от тестето и тя е асо? “Тук разглеждаме съдържанието на тестето на карти. Все още има четири царе, но сега има само 51 карти в тестето. Вероятността да нарисувате крал при положение, че вече е изтеглен асо е 4/51.
Условна вероятност се дефинира като вероятност от събитие, като се има предвид, че се е случило друго събитие. Ако наречем тези събития А и B, тогава можем да говорим за вероятността от А даден B. Бихме могли да се позовем и на вероятността от А зависим от B.
нотация
Обозначението за условна вероятност варира от учебник до учебник. Във всички обозначения индикацията е, че вероятността, за която говорим, зависи от друго събитие. Едно от най-често срещаните обозначения за вероятността от А даден B е P (A | B). Друга нотация, която се използва, е PB(A).
формула
Съществува формула за условна вероятност, която свързва това с вероятността за А и B:
P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)
По същество това, което казва тази формула, е, че да се изчисли условната вероятност на събитието А предвид събитието B, ние променяме нашето примерно пространство да се състои само от множеството B. Правейки това, ние не вземаме предвид цялото събитие А, но само частта от А който също се съдържа в B. Наборът, който току-що описахме, може да бъде идентифициран по-познато като „ пресичане на А и B.
Можем да използваме алгебра да изрази горната формула по различен начин:
P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)
пример
Ще преразгледаме примера, с който започнахме в светлината на тази информация. Искаме да знаем каква е вероятността да нарисувате крал при положение, че вече е изтеглен асо. Така събитието А е, че ние нарисуваме цар. събитие B е, че теглим асо.
Вероятността двете събития да се случат и ние нарисуваме асо и тогава крал съответства на P (A ∩ B). Стойността на тази вероятност е 12/2652. Вероятността за събитие B, че теглим асо е 4/52. По този начин използваме формулата на условната вероятност и виждаме, че вероятността да нарисуваме крал, даден от асо е съставена, е (16/2652) / (4/52) = 4/51.
Друг пример
За друг пример ще разгледаме вероятностния експеримент къде сме разточете две зарчета. Въпрос, който бихме могли да зададем, е: „Каква е вероятността да сме превърнали три, при положение, че сме събрали сума по-малка от шест?“
Тук събитието А е, че ние развихме три и събитието B е, че сме събрали сума по-малка от шест. Има общо 36 начина да разточите две зарчета. От тези 36 начина можем да съберем сума по-малка от шест на десет начина:
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 1 + 3 = 4
- 1 + 4 = 5
- 2 + 1 = 3
- 2 + 2 = 4
- 2 + 3 = 5
- 3 + 1 = 4
- 3 + 2 = 5
- 4 + 1 = 5
Независими събития
Има някои случаи, в които условната вероятност за А предвид събитието B е равно на вероятността от А. В тази ситуация казваме, че събитията А и B са независими една от друга. Горната формула става:
P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),
и ние възстановяваме формулата, че за независими събития вероятността и на двете А и B се открива чрез умножаване на вероятностите на всяко от тези събития:
P (A ∩ B) = P (B) P (A)
Когато две събития са независими, това означава, че едно събитие няма ефект върху другото. Прелитането на една монета, а след това на друга е пример за независими събития. Едната монета не се отразява на другата.
Предупреждения
Бъдете много внимателни, за да определите кое събитие зависи от другото. Общо взето P (A | B) не е равно на P (B | A). Това е вероятността от А предвид събитието B не е същото като вероятността от B предвид събитието А.
В пример по-горе видяхме, че при хвърлянето на две зарчета вероятността да се търкаля тройка, като се има предвид, че сме разточили сума по-малка от шест е 4/10. От друга страна, каква е вероятността да се превърне сума, по-малка от шест, като се има предвид, че сме превърнали три? Вероятността да се търкаля тройка и сума по-малка от шест е 4/36. Вероятността да се търкаля поне една тройка е 11/36. Значи условната вероятност в този случай е (4/36) / (11/36) = 4/11.