Chuck-a-Luck е игра на късмет. Три зарчета са навити, понякога в телена рамка. Поради тази рамка, тази игра се нарича още птича клетка. Тази игра се наблюдава по-често в карнавали, а не в казина. Въпреки това, поради използването на произволни зарчета, можем да използваме вероятност за анализ на тази игра. По-конкретно можем да изчислим очакваната стойност на тази игра.
Залози
Има няколко вида залагания, на които е възможно да заложите. Ще разгледаме само залога с един номер. В този залог просто избираме конкретно число от едно до шест. След това навиваме зарчетата. Обмислете възможностите. Всички зарове, две от тях, един от тях или никой не можеше да покаже номера, който сме избрали.
Да предположим, че тази игра ще плати следното:
- $ 3, ако и трите зарчета съвпадат с избрания номер.
- $ 2, ако точно две зарчета съвпадат с избрания номер.
- $ 1, ако точно една от зарчетата съвпада с избрания номер.
Ако никой от заровете не съвпада с избрания номер, тогава трябва да платим 1 долар.
Каква е очакваната стойност на тази игра? С други думи, в дългосрочен план колко средно бихме очаквали да спечелим или загубим, ако играем тази игра многократно?
Вероятностите
За да намерим очакваната стойност на тази игра, трябва да определим четири вероятности. Тези вероятности съответстват на четирите възможни резултата. Отбелязваме, че всяка матрица е независима от останалите. Поради тази независимост използваме правилото за умножение. Това ще ни помогне да определим броя на резултатите.
Предполагаме също, че зарчетата са справедливи. Всяка от шестте страни на всяка от трите зарчета е с еднаква вероятност да се навие.
Възможни са 6 х 6 х 6 = 216 възможни резултата от хвърлянето на тези три зарчета. Това число ще бъде знаменателят за всички наши вероятности.
Има един начин да съпоставите и трите зарчета с избрания номер.
Има пет начина за едно умиране да не съвпада с избраното от нас число. Това означава, че има 5 х 5 х 5 = 125 начина за никой от нашите зарчета да не съвпада с избраното число.
Ако вземем под внимание точно две от съвпадащите зарчета, тогава имаме една матрица, която не съвпада.
- Има 1 x 1 x 5 = 5 начина за първите две зарчета да съответстват на броя ни, а третият да е различен.
- Има 1 x 5 x 1 = 5 начина за съвпадение на първия и третия зар, като вторият е различен.
- Има 5 х 1 х 1 = 5 начина, по които първата умира да бъде различна, а втората и третата да съвпадат.
Това означава, че има общо 15 начина за съвпадение на точно два зара.
Сега сме изчислили броя на начините за постигане на всички, освен един от нашите резултати. Възможни са 216 рула. Отчитахме 1 + 15 + 125 = 141 от тях. Това означава, че са останали 216 -141 = 75.
Ние събираме цялата горепосочена информация и вижте:
- Вероятността нашият брой да съвпада и с трите зарчета е 1/216.
- Вероятността нашият брой да съвпада точно с две зарчета е 15/216.
- Вероятността нашият брой да съвпадне точно с една умира е 75/216.
- Вероятността нашият брой да съвпада с никоя от заровете е 125/216.
Очаквана стойност
Вече сме готови да изчислим очакваната стойност от тази ситуация. Най- формула за очакваната стойност изисква от нас да умножим вероятността на всяко събитие по нетната печалба или загуба, ако събитието се случи. След това добавяме всички тези продукти заедно.
Изчисляването на очакваната стойност е както следва:
(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216
Това е приблизително - 0,08 долара. Тълкуването е, че ако играхме тази игра многократно, средно губихме по 8 цента всеки път, когато играхме.