Биномиални разпределения са важен клас на дискретни вероятностни разпределения. Тези видове дистрибуции са серия от н независими изпитания на Бернули, всяко от които има постоянна вероятност р на успеха. Както при всяко разпределение на вероятностите и ние бихме искали да знаем каква е средата и центъра му. За това ние наистина питаме: „Какво е това очакваната стойност на биномното разпределение? "
Интуиция vs. доказателство
Ако внимателно мислим за a биномиално разпределение, не е трудно да се определи, че очакваното стойност на този тип вероятностно разпределение е NP. За няколко бързи примера за това, помислете за следното:
- Ако хвърлим 100 монети, и х е броят на главите, очакваната стойност на х е 50 = (1/2) 100.
- Ако правим тест с многократен избор с 20 въпроса и всеки въпрос има четири възможности за избор (само един от което е правилно), тогава предполагането на случаен принцип би означавало, че бихме очаквали само да получим (1/4) 20 = 5 въпроса вярна.
И в двата примера виждаме това
E [X] = n p. Два случая едва ли са достатъчни, за да стигнем до заключение. Въпреки че интуицията е добър инструмент, който да ни ръководи, не е достатъчно да формираме математически аргумент и да докажем, че нещо е вярно. Как да докажем окончателно, че очакваната стойност на това разпределение наистина е NP?От определението на очакваната стойност и функцията на вероятностната маса за биномиално разпределение на н изпитания за вероятност за успех р, можем да демонстрираме, че нашата интуиция съвпада с плодовете на математическата строгост. Трябва да сме малко внимателни в работата си и пъргави в манипулациите на биномиалния коефициент, който се дава от формулата за комбинации.
Започваме с формулата:
E [X] = Σ х = 0н x C (n, x) pх(1-р)n - x.
Тъй като всеки член на сумирането се умножава по х, стойността на термина, съответстващ на x = 0 ще бъде 0, и всъщност можем да пишем:
E [X] = Σ x = 1н x C (n, x) p х (1 - p) n - x .
Чрез манипулиране на факториалите, участващи в израза за C (n, x) можем да пренапишем
x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).
Това е вярно, защото:
x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).
Следва, че:
E [X] = Σ x = 1н n C (n - 1, x - 1) p х (1 - p) n - x .
Ние определяме факта н и едно р от горния израз:
E [X] = np Σ x = 1н C (n - 1, x - 1) p x - 1 (1 - p) (n - 1) - (x - 1) .
Промяна на променливи r = x - 1 дава ни:
E [X] = np Σ r = 0n - 1 C (n - 1, r) p R (1 - p) (n - 1) - r .
По биномиална формула, (x + y)к = Σ r = 0 кC (k, r) xR шk - r сумата по-горе може да бъде пренаписана:
E [X] = (np) (p + (1 - p))n - 1 = np
Горният аргумент ни отведе дълъг път. От самото начало само с дефинирането на очакваната стойност и функция на вероятностната маса за биномиално разпределение, ние доказахме, че това, което ни каза нашата интуиция. Очакваната стойност на биномиално разпределениеB (n, p) е n p.