Важно е да знаете как да изчислите вероятността от събитие. Определени видове събития с вероятност се наричат независими. Когато имаме двойка независими събития, понякога можем да попитаме: "Каква е вероятността и двете да се случат?" В тази ситуация можем просто да умножим двете си вероятности заедно.
Ще видим как да използваме правилото за умножение за независими събития. След като преминем основните положения, ще видим подробностите на няколко изчисления.
Започваме с дефиниция на независими събития. в вероятност, две събития са независими, ако резултатът от едно събитие не влияе на резултата от второто събитие.
Добър пример за двойка независими събития е, когато преобърнем матрица и след това хвърлим монета. Числото, показано на матрицата, няма ефект върху монетата, която беше хвърлена. Следователно тези две събития са независими.
Пример за двойка събития, които не са независими, е полът на всяко бебе в комплект близнаци. Ако близнаците са еднакви, тогава и двамата ще бъдат мъже или и двамата ще бъдат жени.
Правилото за умножение за независими събития свързва вероятностите на две събития с вероятността, че и двете се случват. За да използваме правилото, трябва да имаме вероятностите за всяко от независимите събития. Като се имат предвид тези събития, правилото за умножение посочва вероятността двете събития да се открият чрез умножаване на вероятностите на всяко събитие.
Обозначавайте събития А и B и вероятностите на всеки от Р (А) и P (B). ако А и B са независими събития, тогава:
Някои версии на тази формула използват още повече символи. Вместо думата "и" можем вместо това да използваме символа на пресичане: ∩. Понякога тази формула се използва като определение на независими събития. Събитията са независими, ако и само ако P (A и B) = P (A) х P (B).
Ще видим как да използваме правилото за умножение, като разгледаме няколко примера. Първо да предположим, че разточваме шестстранна матрица и след това обръщаме монета. Тези две събития са независими. Вероятността за преобръщане на 1 е 1/6. Вероятността за глава е 1/2. Вероятността да се търкаля 1 и получаване на глава е 1/6 x 1/2 = 1/12.
Ако бяхме склонни да сме скептични към този резултат, този пример е достатъчно малък, че всички резултати могат да бъдат изброени: {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, Т)}. Виждаме, че има дванадесет резултата, като всички те са еднакво вероятни. Следователно вероятността от 1 и глава е 1/12. Правилото за умножение беше много по-ефективно, защото не изискваше да изброяваме цялото си примерно пространство.
За втория пример, да предположим, че ние нарисуваме карта от a стандартна палуба, сменете тази карта, разбъркайте тестето и след това изтеглете отново. След това питаме каква е вероятността и двете карти да са крале. Откакто сме нарисували със замяна, тези събития са независими и важи правилото за умножение.
Вероятността да нарисувате крал за първата карта е 1/13. Вероятността за рисуване на крал при второто теглене е 1/13. Причината за това е, че заместваме краля, който нарисувахме от първия път. Тъй като тези събития са независими, използваме правилото за умножение, за да видим, че вероятността да нарисуваме два царя се дава от следния продукт 1/13 x 1/13 = 1/169.
Ако не заместихме краля, тогава щяхме да имаме различна ситуация, в която събитията нямаше да бъдат независими. Вероятността да нарисувате крал на втората карта ще бъде повлияна от резултата от първата карта.