В цялата математика и статистика трябва да знаем как да броим. Това важи особено за някои вероятност проблеми. Да предположим, че ни се дават общо н различни обекти и искате да изберете R от тях. Това засяга директно област от математиката, известна като комбинаторика, която е изследването на броенето. Два от основните начини да ги преброим R обекти от н елементите се наричат пермутации и комбинации. Тези понятия са тясно свързани помежду си и лесно се объркват.
Каква е разликата между комбинация и пермутация? Ключовата идея е тази на реда. Една пермутация обръща внимание на реда, по който избираме нашите обекти. Същият набор от обекти, но взети в различен ред, ще ни даде различни престановки. С комбинация все още избираме R обекти от общо н, но поръчката вече не се счита.
Пример за пермутации
За да разграничим тези идеи, ще разгледаме следния пример: колко пермутации има две букви от множеството {a, b, c}?
Тук изброяваме всички двойки елементи от дадения набор, като през цялото време обръщаме внимание на поръчката. Има общо шест пермутации. Списъкът с всички тях е: ab, ba, bc, cb, ac и ca. Обърнете внимание, че като пермутации
аб и ба са различни, защото в един случай а беше избран в първия, а в другия а беше избран втори.Пример за комбинации
Сега ще отговорим на следния въпрос: колко комбинации има две букви от множеството {a, b, c}?
Тъй като имаме работа с комбинации, вече не ни пука за реда. Можем да разрешим този проблем, като погледнем назад към пермутациите и след това елиминираме тези, които включват същите букви. Като комбинации, аб и ба се считат за еднакви. Така има само три комбинации: ab, ac и bc.
Формули
За ситуации, с които се сблъскваме с по-големи набори, твърде отнема време да се изброят всички възможни пермутации или комбинации и да се преброят крайните резултати. За щастие има формули, които ни дават броя на престановките или комбинациите от н взети предмети R на време.
В тези формули използваме стенограмата на н! Наречен нфакториел. Факториалът просто казва да умножавам всички положителни цели числа по-малки или равни на н заедно. Така например 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. По дефиниция 0! = 1.
Броят на пермутациите на н взети предмети R в даден момент се дава по формулата:
P(н,R) = н!/(н - R)!
Броят на комбинациите от н взети предмети R в даден момент се дава по формулата:
° С(н,R) = н!/[R!(н - R)!]
Формули на работа
За да видите формулите на работа, нека разгледаме първоначалния пример. Броят на пермутациите на набор от три обекта, взети два наведнъж, се определя от P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Това съвпада точно с това, което получихме, като изброим всички пермутации.
Броят на комбинациите от набор от три обекта, взети два наведнъж, се определя от:
° С(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Отново, това съвпада точно с това, което видяхме преди.
Формулите определено спестяват време, когато сме помолени да намерим броя на пермутациите на по-голям набор. Например колко престановки има набор от десет обекта, взети три наведнъж? Ще отнеме известно време, за да се изброят всички пермутации, но с формулите виждаме, че би имало:
P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 пермутации.
Основната идея
Каква е разликата между пермутациите и комбинациите? Долната линия е, че при преброяване на ситуации, които включват поръчка, трябва да се използват пермутации. Ако редът не е важен, тогава трябва да се използват комбинации.