След като видите формули, отпечатани в учебник или написани на дъската от учител, понякога е изненадващо за да разберете, че много от тези формули могат да бъдат извлечени от някои основни дефиниции и внимателна мисъл. Това е особено вярно с вероятността при разглеждане на формулата за комбинации. Извеждането на тази формула наистина се опира само на принципа на умножение.
Принципът на умножение
Да предположим, че има задача за изпълнение и тази задача е разбита на общо две стъпки. Първата стъпка може да бъде направена к начини и втората стъпка може да се направи н начини. Това означава, че след мултиплициращ тези числа заедно, е броят на начините за изпълнение на задачата NK.
Например, ако имате десет вида сладолед, за да избирате и три различни гарнитури, колко лъжички, един шприц може да направите? Умножете три по 10, за да получите 30 слънчица.
Формиране на пермутации
Сега използвайте принципа на умножение, за да извлечете формулата за броя на комбинациите от R елементи, взети от набор от
н елементи. Позволявам P (n, r) означават броя на пермутации на R елементи от набор от н и C (n, r) означават броя на комбинациите от R елементи от набор от н елементи.Помислете какво се случва при формиране на пермутация на R елементи от общо н. Вижте това като процес в две стъпки. Първо, изберете набор от R елементи от набор от н. Това е комбинация и има ° С(n, r) начини за това. Втората стъпка в процеса е да поръчате R елементи с R избор за първия, R - 1 избор за втората, R - 2 за третия, 2 избор за предпоследния и 1 за последен. По принципа на умножение има R х (R -1) х... x 2 x 1 = R! начини за това. Тази формула е написана с фактологическа нотация.
Извличането на формулата
За да резюмирате, P(н,R ), броя на начините за формиране на пермутация на R елементи от общо н се определя от:
- Формиране на комбинация от R елементи от общо н във всеки един от ° С(н,R ) начини
- Поръчайте ги R елементи който и да е R! начини.
По принципа на умножение е броят на начините за формиране на пермутация P(н,R ) = ° С(н,R ) х R!.
Използване на формулата за пермутации P(н,R ) = н!/(н - R)!, които могат да бъдат заменени в горната формула:
н!/(н - R)! = ° С(н,R ) R!.
Сега решете това, броят на комбинациите, ° С(н,R ), и вижте това ° С(н,R ) = н!/[R!(н - R)!].
Както беше показано, малко мисъл и алгебра могат да изминат дълъг път. Други формули за вероятност и статистика също могат да бъдат извлечени с някои внимателни приложения на дефиниции.