Какви са законите на Де Морган?

Математическата статистика понякога изисква използването на теория на множествата. Законите на Де Морган са две твърдения, които описват взаимодействията между различните операции на теорията на множествата. Законите са, че за всеки две групи А и B:

1. (А ∩ B)^{° С} = А^{° С} U B^{° С}.
2. (А U B)^{° С} = А^{° С} ∩ B^{° С}.

След като обясним какво означава всяко от тези твърдения, ще разгледаме пример за всяко от тези използвани.

За да разберем какво казват законите на Де Морган, трябва да си припомним някои определения на операциите на теорията на множествата. По-конкретно, ние трябва да знаем за съюз и пресичане от два комплекта и допълнението на комплект.

Законите на Де Морган се отнасят до взаимодействието на обединението, пресичането и допълването. Спомнете си, че:

• Пресечната точка на множествата А и B се състои от всички елементи, които са общи за двете А и B. Пресичането се обозначава с А ∩ B.
• Съединението на множествата А и B се състои от всички елементи, които и в двата А или B, включително елементите и в двата комплекта. Пресичането се обозначава с A U B.
instagram viewer
• Допълнението на комплекта А се състои от всички елементи, които не са елементи на А. Това допълнение се обозначава с A^{° С}.

Сега, когато припомнихме тези елементарни операции, ще видим изявлението на Законите на Де Морган. За всеки чифт комплекти А и B ние имаме:

1. (А ∩ B)^{° С} = А^{° С} U B^{° С}
2. (А U B)^{° С} = А^{° С} ∩ B^{° С}

Тези две твърдения могат да бъдат илюстрирани с помощта на диаграмите на Venn. Както се вижда по-долу, можем да демонстрираме, като използваме пример. За да покажем, че тези твърдения са верни, ние трябва докажете ги чрез използване на дефиниции на операциите на теорията на множествата.

Например, помислете за множеството от реални числа от 0 до 5. Пишем това в интервална нотация [0, 5]. В рамките на този набор имаме А = [1, 3] и B = [2, 4]. Освен това, след прилагането на нашите елементарни операции, ние имаме:

• Допълнението А^{° С} = [0, 1) U (3, 5]
• Допълнението B^{° С} = [0, 2) U (4, 5]
• Обединението А U B = [1, 4]
• Пресечката А ∩ B = [2, 3]

Започваме с изчисляването на обединението А^{° С} U B^{° С}. Виждаме, че обединението на [0, 1) U (3, 5] с [0, 2) U (4, 5] е [0, 2) U (3, 5]. Пресечката А ∩ B е [2, 3]. Виждаме, че допълнението на това множество [2, 3] също е [0, 2) U (3, 5]. По този начин ние демонстрирахме това А^{° С} U B^{° С} = (А ∩ B)^{° С}.

Сега виждаме пресечната точка на [0, 1) U (3, 5] с [0, 2) U (4, 5] е [0, 1) U (4, 5]. Виждаме също, че допълнението на [1, 4] също е [0, 1) U (4, 5]. По този начин ние демонстрирахме това А^{° С} ∩ B^{° С} = (А U B)^{° С}.

През цялата история на логиката хора като Аристотел и Уилям от Окъм са направили изявления, еквивалентни на законите на Де Морган.

Законите на Дьо Морган са кръстени на Август Де Морган, живял от 1806-1871 г. Въпреки че не е открил тези закони, той е първият, който представи официално тези твърдения, използвайки математическа формулировка в логиката на предложенията.