Какво представлява празният набор в теорията на множествата?

Кога нищо не може да бъде нещо? Изглежда като глупав въпрос и доста парадоксален. В математическата област на теорията на множествата е рутинно нищо да не е нещо различно от нищо. Как може да бъде това?

Когато формираме набор без елементи, вече нямаме нищо. Имаме комплект с нищо в него. За комплекта има специално име, което не съдържа елементи. Това се нарича празен или нулев набор.

Дефиницията на празния набор е доста фина и изисква малко мисли. Важно е да запомним, че мислим за a комплект като колекция от елементи. Самият набор е различен от елементите, които съдържа.

Например, ще разгледаме {5}, което е набор, съдържащ елемента 5. Множеството {5} не е число. Това е набор с числото 5 като елемент, докато 5 е число.

По подобен начин празният набор не е нищо. Вместо това е комплектът без елементи. Помага да мислим за комплектите като контейнери, а елементите са онези неща, които поставяме в тях. Празен контейнер все още е контейнер и е аналог на празния набор.

Празният комплект е уникален, поради което е напълно подходящо да се говори на празен комплект, а не един празен комплект. Това прави празния набор различен от останалите. Има безкрайно много комплекти с един елемент в тях. Наборите {a}, {1}, {b} и {123} имат по един елемент и така те са еквивалентни един на друг. Тъй като самите елементи са различни един от друг, множествата не са равни.

Няма нищо особено в примерите по-горе, всеки от които има по един елемент. С едно изключение, за всяко преброяващо число или безкрайност, има безкрайно много набори от този размер. Изключението е за числото нула. Има само един комплект, празният набор, без елементи в него.

Математическото доказателство за този факт не е трудно. Първо приемаме, че празният набор не е уникален, че има два множества без елементи в тях, а след това използваме няколко свойства от теорията на множествата, за да покажем, че това предположение предполага противоречие.

Празният набор се обозначава със символа ∅, който идва от подобен символ в датската азбука. Някои книги се отнасят към празния набор чрез неговото алтернативно име на нула.

Тъй като има само един празен набор, си струва да видим какво се случва, когато зададените операции на пресичане, съединение и допълнение се използват с празния набор и общ набор, който ще обозначим от х. Също така е интересно да се разгледа подмножеството на празния набор и кога е празният набор подмножество. Тези факти са събрани по-долу:

• Най- пресичане на всеки набор с празния набор е празният набор. Това е така, защото в празния набор няма елементи и затова двата набора нямат общи елементи. В символи пишем х ∩ ∅ = ∅.
• Най- съюз на всеки комплект с празния набор е наборът, с който започнахме. Това е така, защото в празния набор няма елементи и затова ние не добавяме никакви елементи към другия набор, когато формираме обединението. В символи пишем х U ∅ = х.
• Най- допълнение на празния набор е универсалният набор за настройката, в която работим. Това е така, защото множеството от всички елементи, които не са в празния набор, е просто множеството от всички елементи.
• Празният набор е подмножество на всеки набор. Това е така, защото формираме подмножества от набор х като избирате (или не избирате) елементи от х. Една от възможностите за подмножество е да не използвате никакви елементи от х. Това ни дава празния комплект.