Случайни променливи с биномиално разпределение се знае, че са дискретни. Това означава, че има голям брой резултати, които могат да възникнат при биномиално разпределение, с разделяне между тези резултати. Например, биномиална променлива може да приеме стойност три или четири, но не число между три и четири.
С дискретния характер на биномиално разпределение, е донякъде изненадващо, че непрекъсната случайна променлива може да се използва за приблизително биномично разпределение. За много биномиални разпределения, можем да използваме нормално разпределение, за да приближим нашите биномиални вероятности.
Това може да се види при гледане н монети хвърля и отдаване под наем х да бъде броят на главите. В тази ситуация имаме биномиално разпределение с вероятност за успех като р = 0,5. Докато увеличаваме броя на хвърлянията, виждаме, че вероятността хистограма има по-голяма и по-голяма прилика с нормално разпределение.
Изявление за нормалното сближаване
Всяко нормално разпределение се определя напълно от две
реални числа. Тези числа са средната стойност, която измерва центъра на разпределението, и стандартно отклонение, който измерва разпространението на дистрибуцията. За дадена биномиална ситуация трябва да можем да определим кое нормално разпределение да използваме.Изборът на правилното нормално разпределение се определя от броя на изпитванията н в биномиалната настройка и постоянната вероятност за успех р за всяко от тези изпитания. Нормалното приближение за нашата биномиална променлива е средно NP и стандартно отклонение от (NP(1 - р)0.5.
Да предположим, например, че предположихме по всеки от 100-те въпроса на тест с многократен избор, където всеки въпрос имаше един правилен отговор от четири варианта. Броят на правилните отговори х е биномиална случайна променлива с н = 100 и р = 0.25. По този начин тази случайна променлива има средно 100 (0,25) = 25 и стандартно отклонение от (100 (0,25) (0,75))0.5 = 4.33. Нормалното разпределение със средно 25 и стандартно отклонение 4,33 ще работи за приближаването на това биномиално разпределение.
Кога е подходящо сближаването?
С помощта на някои математики може да се покаже, че има няколко условия, при които трябва да използваме нормално приближение към биномиално разпределение. Броят на наблюденията н трябва да е достатъчно голям и стойността на р така че и двете NP и н(1 - р) са по-големи или равни на 10. Това е правило, което се ръководи от статистическата практика. Нормалното приближение винаги може да се използва, но ако тези условия не са изпълнени, приближението може да не е толкова добро на приблизително.
Например, ако н = 100 и р = 0,25, тогава сме оправдани при използване на нормалното приближение. Това е така, защото NP = 25 и н(1 - р) = 75. Тъй като и двете от тези числа са по-големи от 10, подходящото нормално разпределение ще свърши доста добра работа за оценка на биномиални вероятности.
Защо да използвате сближаването?
Биномиалните вероятности се изчисляват, като се използва много ясна формула за намиране на биномиален коефициент. За съжаление, поради факториелите във формулата може да бъде много лесно да се сблъскате с изчислителни затруднения с бином формула. Нормалното приближение ни позволява да заобиколим всеки от тези проблеми, като работим с познат приятел, таблица със стойности на стандартно нормално разпределение.
Много пъти определянето на вероятността биномиална произволна променлива да попадне в диапазон от стойности е досадно да се изчисли. Това е така, защото за намиране на вероятността биномиална променлива х е по-голяма от 3 и по-малка от 10, би трябвало да намерим вероятността това х е равно на 4, 5, 6, 7, 8 и 9 и след това се добавят всички тези вероятности. Ако нормалното приближение може да се използва, вместо това ще трябва да определим z-оценките, съответстващи на 3 и 10, и след това да използваме z-score таблица на вероятностите за стандартно нормално разпределение.