Вземане на проби със или без подмяна

Статистическа извадка може да се извърши по много различни начини. В допълнение към вида на метода за вземане на проби, който използваме, има друг въпрос, свързан с това, което конкретно се случва с дадено лице, което сме избрали на случаен принцип. Този въпрос, който възниква при извадката, е: „След като изберем индивид и запишем измерването на атрибута, който изучаваме, какво правим с индивида?“

Има две възможности:

• Можем да заменим отделния човек обратно в пула, от който вземаме проби.
• Можем да изберем да не заместваме индивида.

Много лесно можем да видим, че те водят до две различни ситуации. При първия вариант замяната оставя отворена възможността индивидът да бъде избран на случаен принцип втори път. За втория вариант, ако работим без подмяна, тогава е невъзможно да изберете един и същ човек два пъти. Ще видим, че тази разлика ще повлияе на изчисляването на вероятностите, свързани с тези извадки.

За да видите как обработваме подмяната влияе върху изчисляването на вероятностите, помислете за следния пример. Каква е вероятността да нарисувате два аса от a

Този въпрос е двусмислен. Какво се случва, след като нарисуваме първата карта? Поставяме ли го обратно на тестето или го оставяме навън?

Започваме с изчисляването на вероятността с подмяна. Има четири аса и 52 карти общо, така че вероятността да изтеглите един ас е 4/52. Ако заменим тази карта и теглим отново, вероятността отново е 4/52. Тези събития са независими, така че умножаваме вероятностите (4/52) x (4/52) = 1/169, или приблизително 0,592%.

Сега ще сравним това със същата ситуация, с изключение на това, че не заместваме картите. Вероятността да извадите асо на първото теглене все още е 4/52. За втората карта приемаме, че вече е изтеглено асо. Сега трябва да изчислим условна вероятност. С други думи, трябва да знаем каква е вероятността да нарисувате втори ас, като се има предвид, че първата карта също е асо.

Сега са останали три аса от общо 51 карти. Така че условната вероятност за втори ас след теглене на асо е 3/51. Вероятността да нарисувате два аса без замяна е (4/52) x (3/51) = 1/221, или около 0,425%.

От проблема по-горе виждаме, че това, което решим да заменим, има отношение към стойностите на вероятностите. Тя може значително да промени тези стойности.

Има някои ситуации, при които вземането на проби със или без замяна не променя съществено никакви вероятности. Да предположим, че избираме на случаен принцип двама души от град с население 50 000, от които 30 000 от тези хора са жени.

Ако вземем проба със замяна, тогава вероятността да изберем женска при първата селекция е дадена с 30000/50000 = 60%. Вероятността на женска при втората селекция е все още 60%. Вероятността и на двамата да са жени е 0,6 х 0,6 = 0,36.

Ако правим проба без замяна, първата вероятност не се влияе. Втората вероятност вече е 29999/49999 = 0,5999919998..., което е изключително близо до 60%. Вероятността и двамата да са жени е 0,6 x 0,5999919998 = 0,359995.

Вероятностите са технически различни, но те са достатъчно близки, за да бъдат почти неразличими. Поради тази причина, много пъти, въпреки че правим проба без замяна, третираме избора на всеки индивид, сякаш той е независим от останалите индивиди в извадката.

Има и други случаи, в които трябва да обмислим дали да правим проба със или без замяна. Пример за това е възбуждане. Тази статистическа техника попада под заглавието на техника за повторно оформяне.

При зареждането със стартиращи програми започваме със статистическа извадка от популация. След това използваме компютърен софтуер за изчисляване на проби за зареждане. С други думи, компютърът възобновява заместване с първоначалната проба.