Вероятности и зарове на лъж

Много игри на късмета могат да бъдат анализирани с помощта на математиката на вероятността. В тази статия ще разгледаме различни аспекти на играта, наречена зара на лъжеца. След като опишем тази игра, ще изчислим вероятностите, свързани с нея.

Играта на зара на лъжеца всъщност е семейство от игри, включващи блъфиране и измама. Има няколко варианта на тази игра и тя преминава от няколко различни имена като зарове, заблуда и дудо на пират. Версия на тази игра беше представена във филма Карибски пирати: Гърди на мъртвеца.

Във версията на играта, която ще разгледаме, всеки играч има чаша и набор от еднакъв брой зарчета. Заровете са стандартни, шестстранни зарчета, които са номерирани от едно до шест. Всеки разточва заровете си, като ги държи покрити от чашата. В подходящ момент играчът гледа своя набор от зарове, като ги държи скрити от всички останали. Играта е проектирана така, че всеки играч да има перфектни познания за собствения си набор от зарове, но няма знания за останалите зарове, които са били навити.

След като всички са имали възможност да разгледат заровете си, които са навити, започват наддаването. На всеки завой играчът има два варианта: направи по-висока оферта или наречете предишната оферта лъжа. Офертите могат да бъдат по-високи чрез наддаване на по-висока стойност на зарове от една до шест или чрез наддаване на по-голям брой от една и съща стойност на зарове.

Например оферта от „Трима двойки“ може да бъде увеличена, като се посочи „Четирима двойки“. Той също може да бъде увеличен като казвате "Три тройки." По принцип нито броят на заровете, нито стойностите на зарчетата могат да намаляват.

Тъй като повечето зарове са скрити от гледката, важно е да знаете как да изчислите някои вероятности. Като знаете това, е по-лесно да разберете кои оферти вероятно ще бъдат верни и кои са вероятно лъжи.

Първото съображение е да попитаме: „Колко зарове от същия вид бихме очаквали?“ Например, ако хвърлим пет зарчета, колко от тях бихме очаквали да бъдат две? Отговорът на този въпрос използва идеята за очакваната стойност.

Очакваната стойност на случайна променлива е вероятността за определена стойност, умножена по тази стойност.

Вероятността първият умира да е двама е 1/6. Тъй като зарчетата са независими една от друга, вероятността някой от тях да е две е 1/6. Това означава, че очакваният брой на превърнатите двама е 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Разбира се, няма нищо особено в резултата от две. Нито има нещо особено в броя на заровете, които разгледахме. Ако се навихме н зарове, тогава очакваното число на всеки от шестте възможни резултата е н/6. Този номер е добре да знаем, тъй като той ни дава основна линия, която да използваме, когато поставяме под въпрос оферти, направени от други.

Например, ако играем с лъжица с шест зарчета, очакваната стойност на която и да е от стойностите от 1 до 6 е 6/6 = 1. Това означава, че трябва да сме скептични, ако някой предложи оферта за повече от една стойност. В дългосрочен план бихме оценили по една от всяка от възможните стойности.

Да предположим, че ние хвърляме пет зарчета и искаме да намерим вероятността да разточим две тройки. Вероятността тройник да е тройка е 1/6. Вероятността да умре не е три е 5/6. Рулоните на тези зарчета са независими събития и затова умножаваме вероятностите заедно, използвайки правило за умножение.

Вероятността първите две зарчета да са тройки, а другите зарове не са тройки, се дава от следния продукт:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Първите две зарчета, които са тройки, са само една възможност. Заровете, които са тройки, могат да бъдат всякакви две от петте зарчета, които разточваме. Обозначаваме щампа, която не е тройка с *. Следните са възможни начини да имате две тройки от пет ролки:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Виждаме, че има десет начина да разточите точно две тройки от пет зарчета.

Сега умножаваме вероятността си по-горе с 10-те начина, по които можем да имаме тази конфигурация на зарове. Резултатът е 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Това е приблизително 16%.

Сега обобщаваме горния пример. Ние считаме вероятността за търкаляне н зарчета и получаване точно к които имат определена стойност.

Точно както преди, вероятността да прехвърлим желаното число е 1/6. Вероятността да не се прехвърли това число се дава от правило за допълване като 5/6. Ние искаме к от нашите зарчета да бъде избраният номер. Това означава, че н - к са число, различно от това, което искаме. Вероятността за първата к зарове са определено число с другите зарчета, а не това число е:

(1/6)^к(5/6)^{н - к}

Би било досадно, да не говорим за отнемане на време, да се изброят всички възможни начини за навиване на определена конфигурация на зарове. Ето защо е по-добре да използваме нашите принципи за броене. Чрез тези стратегии виждаме, че броим комбинации.

Има C (н, к) начини за навиване к на определен вид зарчета от н зара. Това число се дава чрез формулата н!/(к!(н - к)!)

Поставяйки всичко заедно, това виждаме, когато се търкаляме н зарчета, вероятността точно така к от тях е определен брой се дава чрез формулата:

[н!/(к!(н - к)!)] (1/6)^{к(5/6)н - к}

Има и друг начин да се разгледа този тип проблем. Това включва биномиално разпределение с вероятност за успех, дадена от р = 1/6. Формулата точно к от тези зарове е определен брой е известен като функция на вероятностната маса за двучлен разпределение.

Друга ситуация, която трябва да вземем предвид, е вероятността да се търкаля поне определен брой от определена стойност. Например, когато хвърлим пет зарчета, каква е вероятността да се търкалят поне три? Бихме могли да навием три, четири или пет. За да определим вероятността, която искаме да намерим, събираме три вероятности.

По-долу имаме таблица на вероятностите за точно получаване к с определена стойност, когато навиваме пет зарчета.

На следващо място, ние разглеждаме следната таблица. Той дава вероятността да се търкаля поне определен брой от стойността, когато хвърлим общо пет зарчета. Виждаме, че въпреки че е много вероятно да се завърти поне един 2, не е толкова вероятно да се търкалят поне четири 2.