Какво е разпределението на Коши

Едно разпределение на произволна променлива е важно не за нейните приложения, а за това, което ни казва за нашите определения. Разпределението на Коши е един такъв пример, понякога наричан патологичен пример. Причината за това е, че макар това разпределение да е добре дефинирано и да има връзка с физическо явление, разпределението няма средно значение или отклонение. Всъщност тази случайна променлива няма a функция за генериране на момент.

Ние дефинираме разпределението на Коши, като вземем предвид спинер, като типа в настолната игра. Центърът на този спинър ще бъде закотвен на ш ос в точката (0, 1). След като въртим въртящия се, ще удължим линейния сегмент на въртящия се елемент, докато той не пресече оста x. Това ще бъде определено като нашата случайна променлива х.

Оставяме w да обозначава по-малкия от двата ъгъла, които въртящият елемент прави с ш ос. Предполагаме, че този въртящ се е еднакво вероятно да образува всеки ъгъл като друг и затова W има равномерно разпределение, което варира от -π / 2 до π / 2.

Основната тригонометрия ни осигурява връзка между нашите две случайни променливи:

х = тенW.

Кумулативната функция на разпределение нахсе получава, както следва:

Н(х) = P(х < х) = P(тенW < х) = P(W < ArcTanх)

Тогава използваме факта, чеW е еднакво и това ни дава:

Н(х) = 0.5 + (ArcTanх)/π

За да получим функцията на плътността на вероятностите, диференцираме функцията на кумулативната плътност. Резултатът е з(x) = 1/[π (1 + х²) ]

Това, което прави разпределението на Коши е интересно е, че въпреки че сме го дефинирали, използвайки физическата система на a произволен завъртач, случайна променлива с разпределение на Коши няма генериране на средна стойност, дисперсия или момент функция. Всички от моменти относно произхода, които се използват за определяне на тези параметри, не съществуват.

Започваме с разглеждане на средната стойност. Средната стойност се определя като очакваната стойност на нашата случайна променлива и така E [х] = ∫_-∞^∞х /[π (1 + х²) ] дх.

Ние се интегрираме чрез използване заместване. Ако зададем ф = 1 +х² тогава виждаме, че dф = 2х дх. След извършване на замяната полученият неправилен интеграл не се сближава. Това означава, че очакваната стойност не съществува и че средната стойност е неопределена.

По същия начин функцията за генериране на дисперсия и момент е неопределена.

Разпределението Коши е кръстено на френския математик Августин-Луи Коши (1789 - 1857). Въпреки че тази дистрибуция е кръстена на Коши, информация относно дистрибуцията е публикувана за първи път от Поасон.