Математически свойства на вълните

Физически вълни или механични вълни, образуват се чрез вибрацията на среда, било то низ, земната кора или частици от газове и течности. Вълните имат математически свойства, които могат да бъдат анализирани, за да се разбере движението на вълната. Тази статия представя тези общи свойства на вълната, а не как да ги прилагаме в специфични ситуации във физиката.

Има два вида механични вълни.

A е такъв, че изместването на средата е перпендикулярно (напречно) спрямо посоката на движение на вълната по средата. Вибриращата струна при периодично движение, така че вълните се движат по нея, е напречна вълна, както и вълните в океана.

А надлъжна вълна е такова, че изместването на средата е назад и напред по същата посока като самата вълна. Звуковите вълни, при които въздушните частици се тласкат по посока на движение, е пример за надлъжна вълна.

Въпреки че вълните, обсъдени в тази статия, ще се отнасят за пътуване в среда, въведената тук математика може да се използва за анализ на свойствата на немеханичните вълни. Електромагнитното излъчване, например, е в състояние да пътува през празно пространство, но все пак има същите математически свойства като другите вълни. Например, the

1. Вълните могат да се разглеждат като смущение в средата около равновесно състояние, което обикновено е в покой. Енергията на това смущение е това, което причинява движението на вълната. Басейн с вода е в равновесие, когато няма вълни, но щом хвърли камък в него, равновесието на частиците се нарушава и движението на вълната започва.
2. Нарушаването на пътуването на вълната, или propogates, с определена скорост, наречена вълнова скорост (V).
3. Вълните транспортират енергия, но няма значение. Самият носител не пътува; отделните частици преминават напред-назад или нагоре-надолу около равновесното положение.

За да опишем математически движението на вълната, имаме предвид концепцията за a вълнова функция, която описва позицията на частица в средата по всяко време. Най-основната функция на вълната е синусоидата, или синусоидалната вълна, която е a периодична вълна (т.е. вълна с повтарящо се движение).

Важно е да се отбележи, че вълновата функция не изобразява физическата вълна, а по-скоро е графика на изместването около положението на равновесие. Това може да бъде объркващо понятие, но полезното е, че можем да използваме синусоидална вълна, за да изобразим повечето периодични движения, като например движение в кръг или размахване на махалото, които не изглеждат непременно вълнообразни, когато гледате действителните движение.

• вълнова скорост (V) - скоростта на разпространение на вълната
• амплитуда (А) - максималната величина на преместването от равновесие, в единици SI на метри. По принцип това е разстоянието от равновесната средна точка на вълната до нейното максимално изместване или е половината от общото изместване на вълната.
• месечен цикъл (T) - е времето за един вълнов цикъл (два импулса, или от гребен към гребен или корито до корито), в единици от секунди на SI (макар че може да се обозначава като "секунди на цикъл").
• честота (е) - броят цикли в единица време. Единицата за честота SI е херца (Hz) и

  1 Hz = 1 цикъл / s = 1 s^-1

• ъглова честота (ω) - е 2π пъти по-голяма от честотата, в единици SI на радиани в секунда.
• дължина на вълната (λ) - разстоянието между всякакви две точки в съответните позиции при последователни повторения във вълната, така че (например) от един гребен или корито до следващото, в SI единици на метри.
• вълнен номер (к) - наричан още константа на разпространение, това полезно количество се определя като 2 π разделени на дължината на вълната, така че единиците SI са радиани на метър.
• пулс - една дължина на половината на вълната, от равновесния гръб

Някои полезни уравнения при дефиниране на горните количества са:

V = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / е = 2 π/ω

к = 2π/ω

ω = VK

Вертикалното положение на точка върху вълната, ш, може да се намери като функция от хоризонталното положение, хи времето, T, когато го гледаме. Благодарим на любезните математици, че свършиха тази работа за нас и получихме следните полезни уравнения за описание на движението на вълната:

ш(x, t) = А грях ω(T - х/V) = А грях 2π f(T - х/V)

ш(x, t) = А грях 2π(T/T - х/V)

у (x, t) = А грях (ω t - KX)

Една последна характеристика на вълновата функция е тази, която се прилага смятане да вземе второто производно, добива вълново уравнение, което е интригуващ и понякога полезен продукт (за което отново ще благодарим на математиците и ще приемем, без да го доказваме):

д²ш / DX² = (1 / V²) д²ш / DT²

Второто производно на ш с уважение до х е еквивалентен на второто производно на ш с уважение до T разделена на квадратна скорост на вълната. Ключовата полезност на това уравнение е това винаги, когато се появи, ние знаем, че функцията ш действа като вълна със скорост на вълната V и следователно, ситуацията може да бъде описана с помощта на вълновата функция.