Един популярен начин за проучване на вероятността е да хвърляте зарове. Стандартната матрица има шест страни, отпечатани с малки точки с номера 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Ако умрето е справедливо (и ние ще го направим) предполагам че всички те са), тогава всеки от тези резултати е еднакво вероятен. Тъй като има шест възможни резултата, вероятността за получаване на всяка страна на матрицата е 1/6. Вероятността да се търкаля a 1 е 1/6, вероятността да се търкаля a 2 е 1/6 и т.н. Но какво се случва, ако добавим още една щампа? Какви са вероятностите за хвърляне на две зарчета?
Вероятност за хвърляне на зарове
За да определим правилно вероятността за хвърляне на зарове, трябва да знаем две неща:
- Размерът на примерно пространство или набора от общи възможни резултати
- Колко често се случва събитие
в вероятност, събитие е определен подмножество от примерното пространство. Например, когато се навие само една матрица, както в горния пример, пространството на извадката е равно на всички стойности на матрицата или на множеството (1, 2, 3, 4, 5, 6). Тъй като матрицата е справедлива, всяко число в множеството се среща само веднъж. С други думи, честотата на всяко число е 1. За да определим вероятността за преобръщане на някое от числата на матрицата, разделяме честотата на събитието (1) на размера на извадковото пространство (6), което води до вероятност 1/6.
Развиването на две справедливи зарчета повече от удвоява трудността при изчисляване на вероятностите. Това е така, защото търкалянето на една матрица е независимо от търкалянето на втората. Едната ролка няма ефект върху другата. Когато работим със независими събития, ние използваме правило за умножение. Използването на схема на дърво показва, че има 6 х 6 = 36 възможни резултата от хвърлянето на две зарчета.
Да предположим, че първата матрица, която преобръщаме, идва като 1. Другата ролка може да бъде 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Сега да предположим, че първата умира е 2. Другият валяк отново може да бъде 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Вече открихме 12 потенциални резултата и все още не са изчерпали всички възможности на първия умиращ.
Таблица на вероятностите за търкаляне на две зарчета
Възможните резултати от хвърлянето на две зарчета са представени в таблицата по-долу. Обърнете внимание, че броят на общите възможни резултати е равен на извадковото пространство на първата матрица (6) умножена от извадковото пространство на втората матрица (6), което е 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Три или повече зарчета
Същият принцип се прилага, ако работим проблеми, свързани с три зарчета. Умножаваме и виждаме, че има 6 х 6 х 6 = 216 възможни резултата. Тъй като става неудобно да напишем повторното умножение, можем да използваме показатели, за да опростим работата. За две зарчета има 62 възможни резултати. За три зарчета има 63 възможни резултати. Като цяло, ако се търкаляме н зарове, тогава има общо 6н възможни резултати.
Примерни проблеми
С тези знания можем да решим всякакви проблеми с вероятността:
1. Навиват се две шестостранни зарчета. Каква е вероятността сумата от двете зарчета да е седем?
Най-лесният начин за решаване на този проблем е да се консултирате с таблицата по-горе. Ще забележите, че във всеки ред има по една ролка с зарове, където сборът на двете зарчета е равен на седем. Тъй като има шест реда, има шест възможни резултата, при които сборът на двата зарчета е равен на седем. Броят на всички възможни резултати остава 36. Отново намираме вероятността, като разделяме честотата на събитието (6) на размера на извадковото пространство (36), което води до вероятност 1/6.
2. Навиват се две шестостранни зарчета. Каква е вероятността това сумата от двете зарчета е три?
В предишния проблем може би сте забелязали, че клетките, където сумата от двете зарчета е равна на седем, образуват диагонал. Същото важи и тук, с изключение на това, че в този случай има само две клетки, където сборът на заровете е три. Това е така, защото има само два начина да постигнете този резултат. Трябва да завъртите 1 и 2 или трябва да завъртите 2 и 1. Комбинациите за събиране на сума от седем са много по-големи (1 и 6, 2 и 5, 3 и 4 и т.н.). За да намерим вероятността сумата на двете зарчета да е три, можем да разделим честотата на събитията (2) на размера на пробното пространство (36), което води до вероятност 1/18.
3. Навиват се две шестостранни зарчета. Каква е вероятността, че численост на зарчета са различни?
Отново можем лесно да разрешим този проблем, като се консултираме с таблицата по-горе. Ще забележите, че клетките, в които числата на заровете са еднакви, образуват диагонал. Има само шест от тях и след като ги зачеркнем имаме останалите клетки, в които числата на зара са различни. Можем да вземем броя комбинации (30) и да го разделим на размера на извадковото пространство (36), което води до вероятност 5/6.