Изчисления с гама функция

Най- гама функция се дефинира със следната сложно изглеждаща формула:

Γ ( Z ) = ∫₀^∞д ^{- T}T^Z-1DT

Един въпрос, който хората имат, когато за първи път се сблъскат с това объркващо уравнение, е: „Как използвате тази формула за изчисляване на стойностите на гама функция? “ Това е важен въпрос, тъй като е трудно да се знае какво означава дори тази функция и какво означават всички символи за.

Един от начините да се отговори на този въпрос е като разгледаме няколко примерни изчисления с гама функцията. Преди да направим това, има няколко неща от смятането, които трябва да знаем, като например как да интегрираме неправилен интеграл от тип I и това e е математическа константа.

Преди да правим някакви изчисления, ние изследваме мотивацията зад тези изчисления. Много пъти гама функциите се появяват зад кулисите. По отношение на гама функцията са посочени няколко функции на плътност на вероятностите. Примерите за тях включват гама разпределение и студентско разпределение на учениците. Значението на гама функцията не може да се надценява.

Първото примерно изчисление, което ще проучим, е намирането на стойността на гама функцията за Γ (1). Това се установява чрез настройка Z = 1 в горната формула:

∫₀^∞д ^{- T}DT

Изчисляваме горния интеграл на две стъпки:

• Неопределеният интеграл ∫д ^{- T}DT= -д ^{- T} + ° С
• Това е неправилен интеграл, затова имаме ∫₀^∞д ^{- T}DT = lim_{b → ∞} -д ^{- б} + д ⁰ = 1

Следващото примерно изчисление, което ще разгледаме, е подобно на последния пример, но увеличаваме стойността на Z от 1. Сега изчисляваме стойността на гама функцията за Γ (2) чрез настройка Z = 2 в горната формула. Стъпките са същите като по-горе:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞д ^{- T}t dt

Неопределеният интеграл ∫ТЕ ^{- T}DT=- те ^{- T} -Д ^{- T} + С. Въпреки че само увеличихме стойността на Z по 1, е необходимо повече работа, за да се изчисли този интеграл. За да намерим този интеграл, трябва да използваме техника от смятане, известна като интеграция по части. Сега използваме границите на интеграция точно както по-горе и трябва да изчислим:

Лим_{b → ∞}- бъда ^{- б} -Д ^{- б} -0E ⁰ + д ⁰.

Резултат от смятане, известно като правило на L’Hospital, ни позволява да изчислим ограниченията_{b → ∞}- бъда ^{- б} = 0. Това означава, че стойността на нашия интеграл по-горе е 1.

Друга характеристика на гама функцията и тази, която я свързва с факториел е формулата Γ (Z +1 ) =ZΓ (Z ) за Z всяко сложно число с положително реален част. Причината, поради която това е вярно, е пряк резултат от формулата за гама функцията. Чрез използване на интеграция по части можем да установим това свойство на гама функцията.