Един естествен въпрос за задаване на вероятностното разпределение е: „Какъв е центърът му?“ Очакваната стойност е едно такова измерване на центъра на вероятностното разпределение. Тъй като измерва средната стойност, не трябва да е изненада, че тази формула се извлича от тази на средната.
За да установим отправна точка, трябва да отговорим на въпроса "Каква е очакваната стойност?" Да предположим, че имаме случайна променлива, свързана с експеримент с вероятност. Да речем, че повтаряме този експеримент отново и отново. В дългосрочен план на няколко повторения на един и същ експеримент с вероятност, ако осредним всички наши стойности на случайна величина, бихме получили очакваната стойност.
В следващото ще видим как да използваме формулата за очакваната стойност. Ще разгледаме както дискретните, така и непрекъснатите настройки и ще видим приликите и разликите във формулите.
Формулата за дискретна случайна променлива
Започваме с анализ на дискретния случай. Дадена дискретна случайна променлива
х, да предположим, че има стойности х1, х2, х3,... хни съответните вероятности от р1, р2, р3,... рн. Това означава, че функцията на вероятностната маса за тази случайна променлива дава е(хаз) = раз.Очакваната стойност на х се дава по формулата:
E (х) = х1р1 + х2р2 + х3р3 +... + хнрн.
Използването на функцията на вероятностната маса и обобщаването на сумирането ни позволява по-компактно да напишем тази формула, както следва, където сумирането е взето над индекса аз:
E (х) = Σ хазе(хаз).
Тази версия на формулата е полезна за разглеждане, защото тя работи и когато имаме безкрайно пространство за пример. Тази формула може лесно да се регулира и за непрекъснатия случай.
Пример
Хвърлете монета три пъти и нека х да бъде броят на главите. Случайната променлива х е дискретен и краен. Единствените възможни стойности, които можем да имаме, са 0, 1, 2 и 3. Това има вероятностно разпределение на 1/8 за х = 0, 3/8 за х = 1, 3/8 за х = 2, 1/8 за х = 3. Използвайте формулата на очакваната стойност, за да получите:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
В този пример виждаме, че в дългосрочен план ще оценим средно общо 1,5 глави от този експеримент. Това има смисъл с нашата интуиция, тъй като половината от 3 е 1,5.
Формулата за непрекъсната случайна променлива
Сега се обръщаме към непрекъсната случайна променлива, която ще обозначим с х. Ще оставим функцията на плътността на вероятностите на х се дава от функцията е(х).
Очакваната стойност на х се дава по формулата:
E (х) = ∫ х f(х) дх.
Тук виждаме, че очакваната стойност на нашата случайна променлива се изразява като интеграл.
Приложения с очаквана стойност
Има много приложения за очакваната стойност на произволна променлива. Тази формула прави интересен външен вид в Санкт-Петербургски парадокс.