Точки за макс и флеккция на разпределение на квадрати

Математическа статистика използва техники от различни клонове на математиката, за да докаже окончателно, че твърденията относно статистиката са верни. Ще видим как да използваме смятане, за да определим споменатите по-горе стойности на двете максимални стойности на хи-квадратно разпределение, което съответства на неговия режим, както и да намерите точките на прегъване на дистрибуция.

Преди да направите това, ще обсъдим характеристиките на максимумите и точките на прегъване като цяло. Ще разгледаме и метод за изчисляване на максималните точки на прегъване.

За дискретен набор от данни режимът е най-често срещаната стойност. В хистограма на данните това ще бъде представено от най-високата лента. След като знаем най-високата лента, ние разглеждаме стойността на данните, която съответства на основата за тази лента. Това е режимът за нашия набор от данни.

Същата идея се използва при работа с непрекъснато разпределение. Този път, за да намерим режима, търсим най-високия връх в разпределението. За графика на това разпределение височината на пика е y стойност. Тази стойност на y се нарича максимум за нашата графика, тъй като стойността е по-голяма от всяка друга y стойност. Режимът е стойността по хоризонталната ос, която съответства на тази максимална y-стойност.

Въпреки че можем просто да разгледаме графика на разпределение, за да намерим режима, има някои проблеми с този метод. Точността ни е толкова добра, колкото нашата графика, и е вероятно да се наложи да преценим. Също така може да има затруднения при начертаването на нашата функция.

Алтернативен метод, който не изисква графики, е да се използва смятане. Методът, който ще използваме е следният:

1. Започнете с функцията на плътност на вероятностите е (х) за нашето разпространение.
2. Изчислете първата и втората производни от тази функция: е '(х) и е ''(х)
3. Задайте тази първа производна равна на нула е '(х) = 0.
4. Решете за х.
5. Включете стойността (ите) от предишната стъпка във втората производна и оценете. Ако резултатът е отрицателен, тогава имаме местен максимум при стойността x.
6. Оценете нашата функция f (х) във всички точки х от предишната стъпка.
7. Оценете функцията на плътност на вероятностите във всякакви крайни точки на нейната поддръжка. Така че, ако функцията има домейн, зададен от затворения интервал [a, b], след това оценете функцията в крайните точки а и б.
8. Най-голямата стойност в стъпки 6 и 7 ще бъде абсолютният максимум на функцията. Стойността x, където се среща този максимум, е режимът на разпределение.

Сега преминаваме през стъпките по-горе, за да изчислим режима на разпределение на чи-квадрат с R степени на свобода. Започваме с функцията на плътност на вероятностите е(х), която се показва на изображението в тази статия.

е (х) = K х^{R / 2-1}д^{-x / 2}

Тук K е константа, която включва гама функция и мощност 2. Не е необходимо да знаем спецификата (въпреки това можем да се позовем на формулата в изображението за тях).

Първата производна на тази функция е дадена чрез използване на правило за продукта както и верижно правило:

е '( х ) = K (r / 2 - 1)х^{R / 2-2}д^{-x / 2} - (К / 2) х^{R / 2-1}д^{-x / 2}

Задаваме тази производна равна на нула и определяме израза от дясната страна:

0 = К х^{R / 2-1}д^{-x / 2} [(r / 2 - 1)х^-1- 1/2]

Тъй като константата K, на експоненциална функция и х^{R / 2-1} всички са ненулеви, можем да разделим и двете страни на уравнението чрез тези изрази. Тогава имаме:

0 = (r / 2 - 1)х^-1- 1/2

Умножете двете страни на уравнението по 2:

0 = (R - 2)х^-1- 1

Така 1 = (R - 2)х^-1и ние заключаваме, като имаме х = r - 2. Това е точката по хоризонталната ос, където се извършва режимът. Той показва х стойност на пика на нашето хи-квадратно разпределение.

Друга характеристика на кривата се занимава с начина, по който кривата. Части от крива могат да бъдат вдлъбнати, като горната част U. Извивките също могат да бъдат вдлъбнати и оформени като оформени пресичане символ ∩. Когато кривата се променя от вдлъбната надолу към вдлъбната нагоре, или обратно, имаме точка на прегъване.

Второто производно на функция открива вдлъбнатината на графиката на функцията. Ако второто производно е положително, кривата е вдлъбната нагоре. Ако второто производно е отрицателно, кривата е вдлъбната надолу. Когато втората производна е равна на нула и графиката на функцията променя вдлъбнатината, имаме точка на прегъване.

За да намерим точките на прегъване на графика, ние:

1. Изчислете втората производна на нашата функция е ''(х).
2. Задайте тази втора производна равна на нула.
3. Решете уравнението от предишната стъпка за х.

Сега виждаме как да работим по горните стъпки за разпределението на чи-квадрат. Започваме с диференциране. От горната работа видяхме, че първата производна за нашата функция е:

е '(х) = K (r / 2 - 1) х^{R / 2-2}д^{-x / 2} - (К / 2) х^{R / 2-1}д^{-x / 2}

Отново разграничаваме, използвайки правилото за продукта два пъти. Ние имаме:

е ''( х ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)х^{R / 2-3}д^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)х^{R / 2-2}д^{-x / 2} + (К / 4) х^{R / 2-1}д^{-x / 2} - (K / 2) (R / 2 - 1) х^{R / 2-2}д^{-x / 2}

Поставяме това равно на нула и разделяме двете страни по Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)х^{R / 2-3}- (1/2) (r / 2 - 1)х^{R / 2-2}+ (1/ 4) х^{R / 2-1}- (1/ 2)(R/2 - 1) х^{R / 2-2}

Като комбинираме подобни термини, ние имаме:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)х^{R / 2-3}- (r / 2 - 1)х^{R / 2-2}+ (1/ 4) х^{R / 2-1}

Умножете двете страни по 4х^{3 - r / 2}, това ни дава:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)х+ х^2.

Квадратната формула вече може да се използва за решаване х.

х = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Разширяваме термините, които се вземат до 1/2 мощност и виждаме следното:

(4К² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

Това означава, че:

х = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

От това виждаме, че има две точки на прегъване. Освен това, тези точки са симетрични по отношение на начина на разпределение, тъй като (r - 2) е на средата между двете точки на прегъване.

Виждаме как двете характеристики са свързани с броя степени на свобода. Можем да използваме тази информация, за да помогнем в скицирането на хи-квадратно разпределение. Можем също да сравним това разпределение с други, като нормалното разпределение. Можем да видим, че точките на прегъване за хи-квадратно разпределение се срещат на различни места от тези на точки на прегъване за нормалното разпределение.