Неравенството на Чебишев в вероятността

Неравенството на Чебишев казва, че поне 1-1 /K² данни от извадка трябва да попадат в K стандартни отклонения от средната стойност (тук K е някакъв положителен реално число по-голям от един).

Всеки набор от данни, който обикновено се разпространява или е под формата на a крива на звънеца, има няколко функции. Една от тях се занимава с разпространението на данните по отношение на броя на стандартните отклонения от средната стойност. При нормално разпределение знаем, че 68% от данните са едно стандартно отклонение от средната стойност, 95% са две стандартни отклонения от средната стойност и приблизително 99% е в рамките на три стандартни отклонения от средната стойност.

Но ако наборът от данни не е разпределен под формата на звънец, тогава различно количество може да бъде в рамките на едно стандартно отклонение. Неравенството на Чебишев предоставя начин да се разбере в коя част от данните попада K стандартни отклонения от средната стойност за който и да е набор от данни

Можем също да посочим неравенството по-горе, като заменим израза „данни от извадка“ с разпределение на вероятността. Това е така, защото неравенството на Чебишев е резултат от вероятността, която след това може да се приложи към статистиката.

Важно е да се отбележи, че това неравенство е резултат, който е доказан математически. Не е като емпирична връзка между средната стойност и режим или правило за палеца който свързва обхвата и стандартното отклонение.

За да илюстрираме неравенството, ще разгледаме няколко стойности на K:

• За K = 2 имаме 1 - 1 /K² = 1 - 1/4 = 3/4 = 75%. Така че неравенството на Чебишев казва, че поне 75% от стойностите на данните при всяко разпределение трябва да са в две стандартни отклонения от средната стойност.
• За K = 3 имаме 1 - 1 /K² = 1 - 1/9 = 8/9 = 89%. Така че неравенството на Чебишев казва, че поне 89% от стойностите на данните при всяко разпределение трябва да са в рамките на три стандартни отклонения от средната стойност.
• За K = 4 имаме 1 - 1 /K² = 1 - 1/16 = 15/16 = 93.75%. Така че неравенството на Чебишев казва, че поне 93,75% от стойностите на данните при всяко разпределение трябва да са в две стандартни отклонения от средната стойност.

Да предположим, че сме взели проби от теглото на кучетата в местния приют за животни и установихме, че нашата проба има средно 20 килограма със стандартно отклонение от 3 килограма. С използването на неравенството на Чебишев знаем, че поне 75% от кучетата, които сме взели за проби, имат тежести, които са две стандартни отклонения от средната стойност. Два пъти стандартното отклонение ни дава 2 x 3 = 6. Извадете и добавете това от средната стойност на 20. Това ни казва, че 75% от кучетата имат тегло от 14 килограма до 26 килограма.

Ако знаем повече за дистрибуцията, с която работим, обикновено можем да гарантираме, че повече данни са определен брой стандартни отклонения от средната стойност. Например, ако знаем, че имаме нормално разпределение, тогава 95% от данните са две стандартни отклонения от средната стойност. Неравенството на Чебишев казва, че в тази ситуация знаем това поне 75% от данните са две стандартни отклонения от средната стойност. Както виждаме в случая, може да е много повече от тези 75%.

Стойността на неравенството е, че ни дава сценарий с „по-лош случай“, при който единственото, което знаем за нашите примерни данни (или вероятностното разпределение), е средното и стандартно отклонение. Когато не знаем нищо друго за нашите данни, неравенството на Чебишев предоставя допълнителна представа за това как е разпространен наборът от данни.

Неравенството е кръстено на руския математик Пафнути Чебишев, който за първи път заяви неравенството без доказателство през 1874г. Десет години по-късно неравенството е доказано от Марков в доктора си. дисертация. Поради различия в начина на представяне на руската азбука на английски, Чебишев също се изписва като Чебишев.