Каква е сказата на експоненциалното разпределение?

често срещани параметри за разпределение на вероятността включват средното и стандартното отклонение. Средната стойност дава измерване на центъра, а стандартното отклонение показва колко е разпределена разпределението. В допълнение към тези добре познати параметри има и други, които обръщат внимание на функции, различни от разпръскването или центъра. Едно такова измерване е това на асиметрия. Skewness дава начин да се прикачи числова стойност към асиметрията на разпределение.

Едно важно разпределение, което ще разгледаме, е експоненциалното разпределение. Ще видим как да докажем, че косостта на експоненциалното разпределение е 2.

Започваме, като заявяваме функцията на плътността на вероятностите за експоненциално разпределение. Всяка от тези разпределения има параметър, който е свързан с параметъра от свързания Поасонов процес. Ние обозначаваме това разпределение като Exp (A), където A е параметърът. Функцията за плътност на вероятностите за това разпределение е:

е(х) = д^{-х/ A}/ А, къде х е неотрицателна.

Тук д е математическото постоянен д това е приблизително 2.718281828. Средното и стандартното отклонение на експоненциалното разпределение Exp (A) и двете са свързани с параметъра А. Всъщност средното и стандартното отклонение и двете са равни на А.

Skewness се определя чрез израз, свързан с третия момент за средната стойност. Този израз е очакваната стойност:

E [(X - μ)³/σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³)/σ³ = (E [X³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

Заменяме μ и σ с A, а резултатът е, че косостта е E [X³] / A³ – 4.

Остава само да се изчисли третото момент за произхода. За това трябва да интегрираме следното:

∫^∞₀х³е(х) дх.

Този интеграл има безкрайност за една от неговите граници. По този начин може да се оцени като неправилен интеграл от тип I. Ние също трябва да определим каква техника за интеграция да използваме. Тъй като функцията за интегриране е продукт на полином и експоненциална функция, ще трябва да използваме интеграция по части. Тази техника на интегриране се прилага няколко пъти. Крайният резултат е, че:

Е [Х³] = 6А³

След това комбинираме това с предишното ни уравнение за косостта. Виждаме, че косостта е 6 - 4 = 2.

Важно е да се отбележи, че резултатът не зависи от конкретното експоненциално разпределение, с което започваме. Косото на експоненциалното разпределение не зависи от стойността на параметъра А.

Освен това виждаме, че резултатът е положителна изкривеност. Това означава, че разпределението е изкривено вдясно. Това не трябва да е изненада, тъй като мислим за формата на графиката на функцията на плътност на вероятностите. Всички такива разпределения имат y-intercept като 1 // theta и опашка, която отива в най-дясната част на графиката, съответстваща на високите стойности на променливата х.

Разбира се, трябва да споменем също, че има и друг начин за изчисляване на косостта. Можем да използваме функцията за генериране на момент за експоненциално разпределение. Първото производно на функция за генериране на момент оценено на 0 ни дава E [X]. По подобен начин третата производна на функцията, генерираща момента, когато се оценява на 0, ни дава E (X³].