Какво е мощност

Един въпрос в теория на множествата е дали множеството е подмножество на друг набор. Подмножество от А е набор, който се формира чрез използване на някои от елементите от множеството А. За да B да бъде подмножество от А, всеки елемент на B също трябва да бъде елемент на А.

Всеки набор има няколко подмножества. Понякога е желателно да знаете всички подмножества, които са възможни. Конструкция, известна като мощност, помага в това начинание. Мощност на комплекта А е набор с елементи, които също са множества. Този набор от мощност, формиран чрез включване на всички подмножества на даден набор А.

Ще разгледаме два примера за мощност. За първо, ако започнем с комплекта А = {1, 2, 3}, тогава каква е мощността? Продължаваме, като изброяваме всички подмножества на А.

• Най- празен комплект е подмножество от А. Всъщност на празен набор е подмножество на всеки набор. Това е единственото подмножество без елементи на А.
• Наборите {1}, {2}, {3} са единствените подмножества на А с един елемент.
• Наборите {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} са единствените подмножества на А с два елемента.
instagram viewer
• Всеки набор е само подмножество. Поради това А = {1, 2, 3} е подмножество от А. Това е единственото подмножество с три елемента.

За втория пример ще разгледаме мощността на B ={1, 2, 3, 4}. Голяма част от казаното по-горе е подобно, ако не и идентично сега:

• Празен комплект и B са двете подмножества.
• Тъй като има четири елемента на B, има четири подмножества с един елемент: {1}, {2}, {3}, {4}.
• Тъй като всеки подмножество от три елемента може да се формира чрез елиминиране на един елемент от B и има четири елемента, има четири такива подмножества: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.
• Остава да определим подмножествата с два елемента. Образуваме подмножество от два елемента, избрани от набор от 4. Това е комбинация и има ° С (4, 2) = 6 от тези комбинации. Подмножествата са: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

Има два начина за мощност на набор А се обозначава. Един от начините да се обозначи това е използването на символа P( А), където понякога това писмо P се пише със стилизиран скрипт. Друга нотация за мощност на А е 2^А. Тази нотация се използва за свързване на мощността към броя на елементите в мощност.

Ще разгледаме допълнително тази нотация. ако А е краен набор с н елементи, след това неговата мощност P (A ) ще има 2^н елементи. Ако работим с безкраен набор, тогава не е полезно да мислим за 2^н елементи. Теорема на Кантор обаче ни казва, че кардиналността на даден набор и неговата мощност не могат да бъдат еднакви.

Беше открит въпрос в математиката дали кардиналността на силовия набор на безкрайно безкраен набор съвпада с кардиналността на истините. Решаването на този въпрос е доста техническо, но казва, че можем да изберем да направим тази идентификация на кардиналности или не. И двете водят до последователна математическа теория.

Предметът на вероятността се основава на теорията на множествата. Вместо да се позоваваме на универсални набори и подмножества, вместо това говорим за примерни пространства и събития. Понякога, когато работим с примерно пространство, искаме да определим събитията от това примерно пространство. Наборът от мощност на примерното пространство, който имаме, ще ни даде всички възможни събития.