Работен лист за неравенството на Чебишев

Неравенството на Чебишев казва, че поне 1 -1 /K² данни от извадка трябва да попадат в Kстандартни отклонения от означава, къдетоK е някакъв положителен реално число по-голям от един. Това означава, че не е необходимо да знаем формата на разпространение на нашите данни. Само със средното и стандартното отклонение можем да определим количеството данни определен брой стандартни отклонения от средната стойност.

По-долу са някои проблеми за практикуване, използвайки неравенството.

Клас второкласници има средна височина от пет фута със стандартно отклонение от един инч. Поне какъв процент от класа трябва да е между 4 и 10 ”до 5”?

Височините, които са дадени в горния диапазон, са в рамките на две стандартни отклонения от средната височина от пет фута. Неравенството на Чебишев казва, че поне 1 - 1/2² = 3/4 = 75% от класа е в дадения диапазон на височината.

Установено е, че компютрите от конкретна компания издържат средно три години без хардуерна неизправност, като стандартното отклонение е два месеца. Поне какъв процент от компютрите издържат между 31 и 41 месеца?

Средният живот от три години съответства на 36 месеца. Времето от 31 месеца до 41 месеца е всяко 5/2 = 2.5 стандартни отклонения от средната стойност. По неравенство на Чебишев, най-малко 1 - 1 / (2.5) 6² = 84% от компютрите издържат от 31 месеца до 41 месеца.

Бактериите в една култура живеят средно време от три часа със стандартно отклонение от 10 минути. Поне каква част от бактериите живеят между два и четири часа?

Два и четири часа са всеки един час далеч от средната стойност. Един час съответства на шест стандартни отклонения. Така поне 1 - 1/6² = 35/36 = 97% от бактериите живеят между два и четири часа.

Кой е най-малкият брой стандартни отклонения от средната стойност, която трябва да преминем, ако искаме да гарантираме, че имаме поне 50% от данните на дадена дистрибуция?

Тук използваме неравенството на Чебишев и работим назад. Искаме 50% = 0,50 = 1/2 = 1 - 1 /K². Целта е да се използва алгебра за решаване K.

Виждаме, че 1/2 = 1 /K². Пресечете кръст и вижте, че 2 =K². Взимаме квадратния корен от двете страни и оттогава K е редица стандартни отклонения, игнорираме отрицателното решение на уравнението. Това показва това K е равен на квадратния корен от две. Така поне 50% от данните са в рамките на приблизително 1,4 стандартни отклонения от средната стойност.

Автобусен маршрут №25 отнема средно време от 50 минути със стандартно отклонение от 2 минути. Промоционален плакат за тази автобусна система гласи, че „95% от маршрута за автобус # 25 трае от ____ до _____ минути“. С какви числа бихте попълнили заготовките?

Този въпрос е подобен на последния по това, което трябва да решим K, броят на стандартните отклонения от средната стойност. Започнете с настройка 95% = 0.95 = 1 - 1 /K². Това показва, че 1 - 0.95 = 1 /K². Опростете, за да видите, че 1 / 0,05 = 20 = K². Така K = 4.47.

Сега изразете това в условията по-горе. Най-малко 95% от всички возила са 4.47 стандартни отклонения от средното време от 50 минути. Умножете 4.47 по стандартното отклонение от 2, за да завършите с девет минути. Така 95% от времето, автобусен маршрут №25 отнема между 41 и 59 минути.