Асоциативните и комутативните свойства

Има няколко математически свойства, които се използват в статистика и вероятност; две от тях, комутативните и асоциативните свойства, обикновено се свързват с основната аритметика на числа, рационални и реални числа, въпреки че те се показват и в по-напреднала математика.

Тези свойства - комутативните и асоциативните - са много сходни и могат лесно да се смесват. Поради тази причина е важно да се разбере разликата между двете.

Комутативното свойство се отнася до реда на определени математически операции. За двоична операция - тази, която включва само два елемента - това може да се покаже чрез уравнението a + b = b + a. Операцията е комутативна, тъй като редът на елементите не влияе на резултата от операцията. Асоциативното свойство, от друга страна, се отнася до групирането на елементи в операция. Това може да се покаже чрез уравнението (a + b) + c = a + (b + c). Групирането на елементите, както е посочено в скобите, не влияе на резултата от уравнението. Обърнете внимание, че когато се използва комутативното свойство, елементи в уравнение са

Най-просто казано, комутативното свойство гласи, че факторите в уравнението могат да се пренареждат свободно, без това да влияе на резултата от уравнението. Следователно комутативното свойство се отнася до подреждането на операциите, включително добавянето и умножението на реални числа, цели числа и рационални числа.

Например числата 2, 3 и 5 могат да бъдат добавени заедно в произволен ред, без това да влияе на крайния резултат:

2 + 3 + 5 = 10

3 + 2 + 5 = 10

5 + 3 + 2 = 10

Числата могат също да бъдат умножени във всеки ред, без това да повлияе на крайния резултат:

2 x 3 x 5 = 30

3 x 2 x 5 = 30

5 x 3 x 2 = 30

Изваждането и делението обаче не са операции, които могат да бъдат комутативни, тъй като редът на операциите е важен. Трите числа по-горе не мога, например, да се изважда в произволен ред, без да се засяга крайната стойност:

2 - 3 - 5 = -6

3 - 5 - 2 = -4

5 - 3 - 2 = 0

В резултат на това комутативното свойство може да бъде изразено чрез уравнения a + b = b + a и a x b = b x a. Независимо от реда на стойностите в тези уравнения, резултатите винаги ще бъдат едни и същи.

В асоциативното свойство се посочва, че групирането на фактори в дадена операция може да бъде променено, без да се повлияе на резултата от уравнението. Това може да се изрази чрез уравнението a + (b + c) = (a + b) + c. Без значение коя двойка стойности в уравнението се добавя първо, резултатът ще бъде същият.

Например вземете уравнението 2 + 3 + 5. Без значение как са групирани стойностите, резултатът от уравнението ще бъде 10:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10

2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

Както при комутативното свойство, примерите на операции, които са асоциативни, включват събирането и умножението на реални числа, цели числа и рационални числа. Въпреки това, за разлика от комутативното свойство, асоциативното свойство може да се прилага и за матрично умножение и съставна функция.

Подобно на уравненията на комутативните свойства, уравненията на асоциативните свойства не могат да съдържат изваждането на реални числа. Вземете например аритметичния проблем (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; ако променим групирането на скобите, имаме 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, което променя крайния резултат от уравнението.

Можем да кажем разликата между асоциативното и комутативното свойство, като зададем въпроса: „Променяме ли реда на елементите, или променяме групирането на елементите? “ Ако елементите се пренареждат, тогава комутативното свойство се прилага. Ако елементите са само прегрупирани, тогава се прилага асоциативното свойство.

Имайте предвид обаче, че наличието на скоби само не означава непременно, че се прилага асоциативното свойство. Например:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

Това уравнение е пример за комутативното свойство на добавяне на реални числа. Ако обърнем внимателно внимание на уравнението, виждаме, че е променен само редът на елементите, а не групирането. За да се приложи асоциативното свойство, трябва да пренаредим и групирането на елементите:

(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3