Един от начините за изчисляване на средната стойност и отклонението на a разпределение на вероятността е да се намери очаквани стойности на случайните променливи х и х2. Използваме обозначението E(х) и E(х2) за означаване на тези очаквани стойности. По принцип е трудно да се изчисли E(х) и E(х2) директно. За да заобиколим тази трудност, използваме някои по-модерни математически теории и смятане. Крайният резултат е нещо, което прави нашите изчисления по-лесни.
Стратегията на този проблем е да се определи нова функция, нова променлива T която се нарича функция за генериране на момент. Тази функция ни позволява да изчисляваме моментите, като просто вземаме производни.
Предположения
Преди да определим функцията за генериране на момент, започваме с задаване на сцената с нотация и дефиниции. Оставяме х бъди а дискретна случайна променлива. Тази случайна променлива има функцията на вероятностната маса е(х). Пробното пространство, с което работим, ще бъде обозначено с С.
Вместо да се изчислява очакваната стойност на
х, искаме да изчислим очакваната стойност на експоненциална функция, свързана с х. Ако има положителен реално числоR такива, че E(дTX) съществува и е ограничен за всички T в интервала [-R, R], тогава можем да определим функцията, генерираща момента на х.дефиниция
Функцията за генериране на момент е очакваната стойност на експоненциалната функция по-горе. С други думи, казваме, че момента, генериращ функция на х се дава от:
М(T) = E(дTX)
Тази очаквана стойност е формулата Σ дTXе (х), където сумата е поета над всички х в примерно пространствоС. Това може да бъде крайна или безкрайна сума, в зависимост от използваното пробно пространство.
Имоти
Функцията за генериране на момент има много функции, които се свързват с други теми в вероятността и математическата статистика. Някои от най-важните му характеристики включват:
- Коефициентът на дтуберкулоза е вероятността това х = б.
- Функциите за генериране на момент притежават уникално свойство. Ако функциите за генериране на момент за две произволни променливи съвпадат една с друга, тогава функциите на масата на вероятностите трябва да са еднакви. С други думи, случайните променливи описват едно и също разпределение на вероятността.
- Функциите за генериране на момент могат да се използват за изчисляване на моментите на х.
Изчисляване на моменти
Последният елемент в списъка по-горе обяснява името на функциите за генериране на момент, както и тяхната полезност. Някои усъвършенствани математики казват, че при условията, които поставихме, производното от произволен ред на функцията М (T) съществува за кога T = 0. Освен това в този случай можем да променим реда на сумиране и разграничаване по отношение на T за получаване на следните формули (всички обобщения са над стойностите на х в пробното пространство С):
- М’(T) = Σ XETXе (х)
- М’’(T) = Σ х2дTXе (х)
- М’’’(T) = Σ х3дTXе (х)
- М(н)’(T) = Σ хндTXе (х)
Ако зададем T = 0 в горните формули, след това дTX термин става д0 = 1. Така получаваме формули за моментите на случайната променлива х:
- М’(0) = E(х)
- М’’(0) = E(х2)
- М’’’(0) = E(х3)
- М(н)(0) = E(хн)
Това означава, че ако функцията за генериране на момент съществува за определена случайна променлива, тогава можем да намерим нейната средна стойност и нейната дисперсия по отношение на производни на функцията, генерираща момент. Средната е М(0), а вариацията е М’’(0) – [М’(0)]2.
резюме
В обобщение, ние трябваше да се вмъкнем в някои доста мощни математика, така че някои неща бяха омагьосани. Въпреки че трябва да използваме смятане за горното, в крайна сметка нашата математическа работа е обикновено по-лесна, отколкото чрез изчисляване на моментите директно от определението.