Разбиране на определението за симетрична разлика

Теория на множествата използва редица различни операции за конструиране на нови набори от стари. Има различни начини за избор на определени елементи от дадени набори, като изключваме други. Резултатът обикновено е набор, който се различава от оригиналните. Важно е да имате добре дефинирани начини за конструиране на тези нови набори и примери за тях включват съюз, пресичане, и разлика на два комплекта. Операция за задаване, която е може би по-малко известна, се нарича симетрична разлика.

За да разберем дефиницията на симетричната разлика, първо трябва да разберем думата „или“. Макар и малка, думата „или“ има две различни употреби в английския език. Тя може да бъде изключителна или приобщаваща (и току-що е използвана изключително в това изречение). Ако ни се каже, че можем да изберем от A или B и смисълът е изключителен, тогава може да имаме само една от двете опции. Ако смисълът е приобщаващ, тогава ние може да имаме A, може да имаме B, или може да имаме и A, и B.

Обикновено контекстът ни води, когато се сблъскваме с думата или дори не е нужно да мислим по какъв начин тя се използва. Ако ни питат дали бихме искали сметана или захар в нашата кафе, ясно се подразбира, че може да имаме и двете. В математиката искаме да премахнем неяснотата. Така че думата „или“ в математиката има приобщаващ смисъл.

По този начин думата „или“ се използва в приобщаващия смисъл в дефиницията на съюза. Съединението на множествата A и B е съвкупността от елементи в A или B (включително онези елементи, които са в двата множества). Но си струва да се извърши операция за задаване, която конструира множеството, съдържащо елементи в A или B, където "или" се използва в изключителния смисъл. Това наричаме симетричната разлика. Симетричната разлика на множествата A и B са тези елементи в A или B, но не и в A и B. Докато нотацията варира за симетричната разлика, ще напишем това като A ∆ B

За пример на симетричната разлика ще разгледаме множествата А = {1,2,3,4,5} и B = {2,4,6}. Симетричната разлика между тези множества е {1,3,5,6}.

Други зададени операции могат да се използват за определяне на симетричната разлика. От горното определение става ясно, че можем да изразим симетричната разлика на A и B като разликата на обединението на A и B и пресечната точка на A и B. В символи пишем: A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B).

Еквивалентният израз, използващ някои различни зададени операции, помага да се обясни името симетрична разлика. Вместо да използваме горната формулировка, можем да запишем симетричната разлика, както следва: (A - B) ∪ (B - A). Тук отново виждаме, че симетричната разлика е множеството елементи в A, но не и B, или в B, но не и A. По този начин ние изключихме тези елементи в пресечната точка на A и B. Възможно е математически да се докаже, че тези две формули са еквивалентни и се отнасят към един и същ набор.

Симетричната разлика в името подсказва връзка с разликата на два множества. Тази разлика е очевидна и в двете формули по-горе. Във всеки от тях беше изчислена разлика от два множества. Това, което отличава симетричната разлика освен разликата, е нейната симетрия. По конструкция ролите на A и B могат да бъдат променени. Това не е вярно за разликата между две групи.

За да подчертаем тази точка, само с малко работа ще видим симетрията на симетричната разлика, откакто виждаме A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) = (B - A) ∪ (A - B) = B ∆ A.