Вероятност за случаен избор на просто число

Теорията на числата е клон на математика който се отнася до множеството от цели числа. Ние се ограничаваме донякъде, като правим това, тъй като не изучаваме пряко други числа, например ирационални. Въпреки това, други видове реални числа са използвани. В допълнение към това, обектът на вероятността има много връзки и пресечни точки с теорията на числата. Една от тези връзки е свързана с разпространението на прости числа. По-конкретно може да попитаме каква е вероятността случайно избрано цяло число от 1 до х е просто число?

Както при всеки математически проблем, важно е да се разбере не само какви предположения се правят, но и дефинициите на всички ключови термини в проблема. За този проблем разглеждаме положителните цели числа, означаващи цели числа 1, 2, 3,... до някакъв брой х. Ние избираме произволно едно от тези числа, което означава, че всички х от тях е еднакво вероятно да бъдат избрани.

Опитваме се да определим вероятността да бъде избрано просто число. Следователно трябва да разберем дефиницията на просто число. Прост номер е положително цяло число, което има точно два фактора. Това означава, че единствените делители на прости числа са едно и числото. Така че 2,3 и 5 са ​​първични, но 4, 8 и 12 не са първични. Отбелязваме, че тъй като трябва да има два фактора в просто число, числото 1 е

Решението на този проблем е просто за ниски числа х. Всичко, което трябва да направим, е просто да преброим броя на праймите, които са по-малки или равни на х. Разделяме броя на праймите по-малък или равен на х по число х.

Например, за да намерим вероятността да бъде избран премиум от 1 до 10, трябва да разделим броя на прайсите от 1 на 10 на 10. Числата 2, 3, 5, 7 са прости, така че вероятността да бъде избран премиум е 4/10 = 40%.

Вероятността да бъде избран премиум от 1 до 50 може да се намери по подобен начин. Праймерите, които са по-малки от 50, са: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 и 47. Има 15 прайма по-малко или равно на 50. По този начин вероятността да бъде избран премиер на случаен принцип е 15/50 = 30%.

Този процес може да се извърши чрез просто преброяване на праймес, стига да имаме списък с прайдове. Например има 25 прайма по-малко или равно на 100. (Така вероятността случайно избрано число от 1 до 100 да е първоначално е 25/100 = 25%.) Въпреки това, ако нямаме списък на прайсите, може да бъде изчислително обезсмислително да се определи набор от прости числа, които са по-малки или равни на даден номер х.

Ако нямате брой на праймите, които са по-малки или равни на х, тогава има алтернативен начин за решаване на този проблем. Решението включва математически резултат, известен като теорема на простото число. Това е твърдение за цялостното разпределение на прайметата и може да се използва за приблизителна вероятност, която се опитваме да определим.

Теоремата на простото число гласи, че има приблизително х / ln (х) прости числа, които са по-малки или равни на х. Тук ln (х) обозначава естествения логаритъм на хили с други думи логаритъмът с основа от броя д. Като стойност на х увеличава приближението се подобрява, в смисъл, че виждаме намаляване на относителната грешка между броя на прайсите по-малко от х и израза х / ln (х).

Можем да използваме резултата от теоремата за прости числа за решаване на проблема, който се опитваме да разрешим. По теоремата на простото число знаем, че има приблизително х / ln (х) прости числа, които са по-малки или равни на х. Освен това има общо х положителни числа, по-малки или равни на х. Следователно вероятността случайно избрано число в този диапазон да е първостепенно (х / ln (х) ) /х = 1 / ln (х).

Вече можем да използваме този резултат, за да приближим вероятността случайно да изберем първо число от първото милиард числа. Изчисляваме естествения логаритъм на милиард и виждаме, че ln (1,000,000,000) е приблизително 20,7, а 1 / ln (1,000,000,000) е приблизително 0,0483. По този начин имаме около 4,83% вероятност случайно да изберем първо число от първите милиарди цели числа.