Вероятност за малка права в Yahtzee в една ролка

Yahtzee е игра с зарове, която използва пет стандартни шестстранни зарчета. На всеки завой се дават играчи три ролки за постигане на няколко различни цели. След всяко хвърляне играчът може да реши кои от заровете (ако има такива) да бъдат задържани и кои да бъдат преместени. Целите включват разнообразие от различни видове комбинации, много от които са взети от покера. Всяка различна комбинация струва различен брой точки.

Извикват се два от видовете комбинации, които играчите трябва да търкалят стрейт: малка права и голяма права. Подобно на покер правите, тези комбинации се състоят от последователни зарове. В малките прави се използват четири от петте зарчета и големи прави използвай всичките пет зарчета. Поради случайността на търкалянето на зарове вероятността може да се използва за анализ на това колко е вероятно да се търкаля малка права в една ролка.

Предполагаме, че използваните зарчета са справедливи и независими една от друга. По този начин има еднакво пространство за проби, състоящо се от всички възможни ролки от петте зарчета. Макар че

Тъй като ние работим с a униформапримерно пространство, изчисляването на нашата вероятност се превръща в изчисление на няколко проблема с броенето. Вероятността за малка права е броят на начините за завъртане на малка права, разделена на броя на резултатите в извадковото пространство.

Много е лесно да се преброят броя на резултатите в извадковото пространство. Ние търкаляме пет зарчета и всеки от тези зарове може да има един от шест различни резултати. Основно приложение на принципа на умножение ни казва, че извадковото пространство има 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 резултати. Това число ще бъде знаменателят на дроби, които използваме за нашата вероятност.

На следващо място, ние трябва да знаем колко начини има да се търкаля малка права. Това е по-трудно от изчисляването на размера на пробното пространство. Започваме с броенето колко прави са възможни прави.

Една малка права е по-лесна за търкаляне, отколкото голяма права, обаче е по-трудно да се преброят броя на начините за търкаляне на този тип прави. Малка права се състои от точно четири последователни числа. Тъй като има шест различни лица на матрицата, има три възможни малки прави: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} и {3, 4, 5, 6}. Трудността възниква при обмислянето на случващото се с петата умира. Във всеки от тези случаи петата матрица трябва да е число, което не създава голяма права. Например, ако първите четири зарчета бяха 1, 2, 3 и 4, петата матрица може да бъде всичко различно от 5. Ако петата умре беше 5, тогава щяхме да имаме голяма права, а не малка права.

Това означава, че има пет възможни ролки, които дават малката права {1, 2, 3, 4}, пет възможни ролки, които дават малките прави {3, 4, 5, 6} и четири възможни ролки, които дават малките прави {2, 3, 4, 5}. Последният случай е различен, тъй като прехвърлянето на 1 или 6 за петата матрица ще се промени {2, 3, 4, 5} в голяма права. Това означава, че има 14 различни начина, по които пет зарчета могат да ни дадат малка права.

Сега определяме различния брой начини да хвърлим определен набор зарчета, които ни дават направо. Тъй като ние само трябва да знаем колко начини има да направим това, можем да използваме някои основни техники за броене.

От 14-те различни начина за получаване на малки прави, само два от тях {1,2,3,4,6} и {1,3,4,5,6} са комплекти с различни елементи. Има 5! = 120 начина да се търкаля всеки за общо 2 х 5! = 240 малки прави.

Останалите 12 начина да имате малка права са технически мултисети, тъй като всички те съдържат повтарящ се елемент. За един конкретен мултисет, като [1,1,2,3,4], ние ще броим броя на различните начини за прехвърляне на това. Мислете за заровете като пет позиции подред:

• Има C (5,2) = 10 начина за позициониране на двата повторени елемента сред петте зарчета.
• Има 3! = 6 начина да подредите трите различни елемента.

По принципа на умножение има 6 х 10 = 60 различни начина за разточване на заровете 1,1,2,3,4 в едно руло.

Има 60 начина да превъртите една такава малка права с тази пета матрица. Тъй като има 12 мултисета, които дават различно изброяване на пет зарчета, има 60 х 12 = 720 начина да хвърлите малка права, в която две зарчета съответстват.

Общо има 2 х 5! + 12 x 60 = 960 начина за навиване на малка права.

Сега вероятността да се търкаля малка права е изчисление на просто разделение. Тъй като има 960 различни начина да превъртите малка права в една ролка и има 7776 ролки от пет възможни зарчета, вероятността да се търкаля малка права е 960/7776, което е близо до 1/8 и 12.3%.

Разбира се, по-вероятно е, но не и първото преобръщане да не е направо. Ако случаят е такъв, тогава ни позволяват още две ролки, които правят малка права много по-голяма вероятност. Вероятността за това е много по-сложно да се определи поради всички възможни ситуации, които би трябвало да бъдат разгледани.