Вероятност за свързване на 3 или повече набора

Когато са две събития взаимно изключващи се, вероятността за тяхното съюз може да се изчисли с правило за добавяне. Знаем, че за валянето на матрица, търкалянето на число, по-голямо от четири или число по-малко от три, са взаимно изключващи се събития, без нищо общо. Така че, за да намерим вероятността от това събитие, ние просто добавяме вероятността, че прехвърляме число, по-голямо от четири, към вероятността, че свиваме число по-малко от три. В символите имаме следното, къде е столицата P означава "вероятност за":

P(по-голямо от четири или по-малко от три) = P(по-голямо от четири) + P(по-малко от три) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Ако събитията са не взаимно изключващи се, тогава не просто добавяме вероятностите на събитията заедно, но трябва да изваждаме вероятността от пресичане от събитията. Предвид събитията А и B:

P(А U B) = P(А) + P(B) - P(А ∩ B).

Тук отчитаме възможността за двойно отчитане на онези елементи, които са и в двете А и Bи затова изваждаме вероятността от пресичането.

Въпросът, който възниква от това, е: „Защо да спрем с два комплекта? Каква е вероятността за обединение на повече от два множества? “

Ще разширим горните идеи до ситуацията, в която имаме три множества, които ще обозначим А, B, и ° С. Няма да приемем нищо повече от това, така че има възможност множествата да имат непразна пресечка. Целта ще бъде да се изчисли вероятност на съединението на тези три групи, или P (А U B U ° С).

Горната дискусия за две групи все още е валидна. Можем да съберем вероятностите на отделните множества А, B, и ° С, но правейки това, ние сме преброили два пъти някои елементи.

Елементите в пресечната точка на А и B са били преброени двойно както преди, но сега има други елементи, които потенциално са били преброени два пъти. Елементите в пресечната точка на А и ° С и в пресечната точка на B и ° С сега също са преброени два пъти. Така че вероятности от тези кръстовища също трябва да се извади.

Но твърде много ли сме извадили? Има нещо ново, за да вземем предвид, че не трябваше да се притесняваме, когато имаше само два сета. Както всички две групи могат да имат пресечна точка, така и трите множества могат да имат пресечна точка. Опитвайки се да сме сигурни, че не сме преброили нищо, не сме преброили всички онези елементи, които се появяват и в трите групи. Така че вероятността от пресичане и на трите множества трябва да се добави отново.

Ето формулата, извлечена от горната дискусия:

P (А U B U ° С) = P(А) + P(B) + P(° С) - P(А ∩ B) - P(А ∩ ° С) - P(B ∩ ° С) + P(А ∩ B ∩ ° С)

За да видите формулата за вероятността на обединението на три множества, да предположим, че играем настолна игра, която включва навиване на две зарчета. Поради правилата на играта, трябва да вземем поне една от матриците, за да бъдем две, три или четири, за да спечелим. Каква е вероятността за това? Отбелязваме, че се опитваме да изчислим вероятността за обединението на три събития: търкаляне на поне едно две, търкаляне на поне едно три, търкаляне на поне едно четири. Така че можем да използваме горната формула със следните вероятности:

• Вероятността да търкаляте двама е 11/36. Числителят тук идва от факта, че има шест резултата, при които първата умира е две, шест, в която втората умира е две, и един резултат, когато и двете зарчета са двойки. Това ни дава 6 + 6 - 1 = 11.
• Вероятността да се търкаля тройка е 11/36, по същата причина като по-горе.
• Вероятността да търкаляте четирима е 11/36, по същата причина като по-горе.
• Вероятността да се търкаля две и тройка е 2/36. Тук можем просто да изброим възможностите, двамата могат да дойдат първи или може да дойде втори.
• Вероятността да се търкаля две и четири е 2/36, по същата причина, че вероятността на две и три е 2/36.
• Вероятността да се търкалят две, три и четири е 0, защото ние търкаляме само две зарчета и няма как да вземем три числа с две зарчета.

Сега използваме формулата и виждаме, че вероятността да получим поне две, три или четири

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

Причината формулата за вероятността на обединението на четири множества да има своята форма е подобна на разсъжденията за формулата за три множества. С увеличаването на броя на множествата се увеличава и броят на двойките, тройките и т.н. С четири множества има шест двойни кръстовища, които трябва да бъдат извадени, четири тройни пресичания, за да се добави обратно, и сега четворна пресечка, която трябва да бъде извадена. Дадени четири комплекта А, B, ° С и д, формулата за обединението на тези множества е следната:

P (А U B U ° С U д) = P(А) + P(B) + P(° С) +P(д) - P(А ∩ B) - P(А ∩ ° С) - P(А ∩ д)- P(B ∩ ° С) - P(B ∩ д) - P(° С ∩ д) + P(А ∩ B ∩ ° С) + P(А ∩ B ∩ д) + P(А ∩ ° С ∩ д) + P(B ∩ ° С ∩ д) - P(А ∩ B ∩ ° С ∩ д).

Бихме могли да напишем формули (които биха изглеждали дори по-страшни от горните) за вероятността на обединението на повече от четири множества, но от изучаването на горните формули трябва да забележим някои модели. Тези модели имат право да изчисляват обединения от повече от четири множества. Вероятността за обединяване на произволен брой множества може да се намери, както следва:

1. Добавете вероятностите на отделните събития.
2. Извадете вероятности от пресичанията на всяка двойка събития.
3. Добавете вероятностите за пресичане на всеки набор от три събития.
4. Извадете вероятностите от пресичането на всеки набор от четири събития.
5. Продължете този процес, докато последната вероятност не е вероятността от пресичане на общия брой набори, с които започнахме.