Как да изчислим коефициентите на Powerball

Powerball е многостъпален лотария това е доста популярно поради многомилионните си джакпоти. Някои от тези джакпоти достигат стойности, които са над 100 милиона долара. Интересно търсене на йон от a вероятностни смисъл е: „Как са шансове изчислена на вероятността от спечелване Powerball? "

Първо ще разгледаме правилата на Powerball, както е конфигуриран в момента. По време на всяко рисуване два барабана, пълни с топки, се смесват старателно и се рандомизират. Първият барабан съдържа бели топки, номерирани от 1 до 59. Начертани са пет без подмяна от този барабан. Вторият барабан има червени топки, които са номерирани от 1 до 35. Една от тях е нарисувана. Целта е да се съпоставят колкото се може повече от тези числа.

Пълният джакпот се печели, когато всичките шест числа, избрани от играч, съвпадат перфектно с теглените топки. Има награди с по-ниски стойности за частично съвпадение, за общо девет различни начина да спечелите някаква сума от долара от Powerball. Тези начини за печелене са:

• Съчетавайки всичките пет бели топки и червената топка печели джакпота с голямата награда. Стойността на това варира в зависимост от това колко време е минало откакто някой е спечелил тази голяма награда.
• Съвпадение на всички пет бели топки, но не и на червената топка печели $ 1,000,000.
• Съвпадение точно на четири от петте бели топки и червената топка печели $ 10 000.
• Съвпадение на точно четири от петте бели топки, но не и червената топка печели 100 долара.
• Съвпадение точно на три от петте бели топки и червената топка печели 100 долара.
• Съвпадение на точно три от петте бели топки, но не и червената топка печели $ 7.
• Съвпадение точно на две от петте бели топки и червената топка печели 7 долара.
• Съвпадение точно на една от петте бели топки и червената топка печели $ 4.
• Ако съвпадне само с червената топка, но нито една от белите топки не печели $ 4.

Ще разгледаме как да изчислим всяка от тези вероятности. По време на тези изчисления е важно да се отбележи, че редът за това как топките излизат от барабана не е важен. Важното е само набор от топки, които се теглят. По тази причина нашите изчисления включват комбинации, а не пермутации.

Също така полезно при всяко изчисление по-долу е общият брой комбинации, които могат да бъдат изтеглени. Имаме пет избрани от 59-те бели топки или използвайки обозначение за комбинации, C (59, 5) = 5,006,386 начина да се случи това. Има 35 начина за избор на червената топка, което води до 35 x 5,006,386 = 175,223,510 възможни селекции.

Въпреки че джакпотът за съвпадение на всичките шест топки е най-труден за получаване, това е най-лесната вероятност да се изчисли. От множеството от 175 223 510 възможни селекции има точно един начин да спечелите джакпота. По този начин вероятността конкретен билет да спечели джакпота е 1 / 175,223,510.

За да спечелим 1 000 000 долара, трябва да съпоставим петте бели топки, но не и червените. Има само един начин да се съпоставят всичките пет. Има 34 начина да не съответствате на червената топка. Така че вероятността да спечелите $ 1,000,000 е 34 / 175,223,510, или приблизително 1 / 5,153,633.

За награда от 10 000 долара трябва да съпоставим четири от петте бели топки и червената. Има C (5,4) = 5 начина за съвпадение на четири от петте. Петата топка трябва да е една от останалите 54, които не са били изтеглени и затова има C (54, 1) = 54 начина да се случи това. Има само 1 начин да съответствате на червената топка. Това означава, че има 5 х 54 х 1 = 270 начина да се съпоставят точно четири бели топки и червената, което дава вероятност 270 / 175,223,510, или приблизително 1 / 648,976.

Един от начините да спечелите награда от 100 долара е да съпоставите четири от петте бели топки, а не да съответствате на червената. Както в предишния случай, има C (5,4) = 5 начина за съпоставяне на четири от петте. Петата топка трябва да е една от останалите 54, които не са били изтеглени и затова има C (54, 1) = 54 начина да се случи това. Този път има 34 начина да не съответствате на червената топка. Това означава, че има 5 x 54 x 34 = 9180 начина да се съпоставят точно четири бели топки, но не и червените, което дава вероятност от 9180 / 175,223,510, или приблизително 1 / 19,088.

Друг начин да спечелите награда от 100 долара е да съпоставите точно три от петте бели топки и също така да съответствате на червената. Има C (5,3) = 10 начина за съпоставяне на три от петте. Останалите бели топки трябва да са един от останалите 54, които не са били начертани, и затова има C (54, 2) = 1431 начина да се случи това. Има един начин да съответствате на червената топка. Това означава, че има 10 x 1431 x 1 = 14 3110 начина да се съпоставят точно три бели топки и червената, което дава вероятност от 14,310 / 175,223,510 или приблизително 1 / 12,245.

Един от начините да спечелите награда от 7 долара е да съпоставите точно три от петте бели топки, а не да съответствате на червената. Има C (5,3) = 10 начина за съпоставяне на три от петте. Останалите бели топки трябва да са един от останалите 54, които не са били начертани, и затова има C (54, 2) = 1431 начина да се случи това. Този път има 34 начина да не съответствате на червената топка. Това означава, че има 10 x 1431 x 34 = 486,540 начина да се съпоставят точно три бели топки, но не и червените, което дава вероятност 486,540 / 175,223,510 или приблизително 1/360.

Друг начин да спечелите награда от 7 долара е да съпоставите точно две от петте бели топки и също така да съответствате на червената. Има C (5,2) = 10 начина за съпоставяне на два от петте. Останалите бели топки трябва да са един от останалите 54, които не са изтеглени, и затова има C (54, 3) = 24 804 начина, за да се случи това. Има един начин да съответствате на червената топка. Това означава, че има 10 х 24,804 х 1 = 248,040 начина да се съпоставят точно две бели топки и червената, което дава вероятност от 248,040 / 175,223,510 или приблизително 1/706.

Един от начините да спечелите награда от 4 долара е да съвпаднете точно с една от петте бели топки, а също така да съответствате на червената. Има C (5,4) = 5 начина за съпоставяне на един от петте. Останалите бели топки трябва да са един от останалите 54, които не са били начертани, и затова има C (54, 4) = 316 251 начина да се случи това. Има един начин да съответствате на червената топка. Това означава, че има 5 x 316,251 x1 = 1,581,255 начина да се съпоставят точно една бяла топка и червената, което дава вероятност от 1,581,255 / 175,223,510 или приблизително 1/111.

Друг начин за спечелване на награда от $ 4 е да не се съпостави нито една от петте бели топки, а да съответства на червената. Има 54 топки, които не са нито един от петте избрани и имаме C (54, 5) = 3,162,510 начина да се случи това. Има един начин да съответствате на червената топка. Това означава, че има 3,162,510 начина да се сравни нито една от топките, с изключение на червената, което дава вероятност от 3,162,510 / 175,223,510 или приблизително 1/55.

Този случай е някак противоположен. Има 36 червени топки, така че може да мислим, че вероятността за съвпадение на някоя от тях би била 1/36. Това обаче пренебрегва другите условия, наложени от белите топки. Много комбинации, включващи правилната червена топка, включват и мачове на някои от белите топки.