Разбиране на еквивалентни уравнения в алгебрата

Еквивалентните уравнения са системи от уравнения, които имат едни и същи решения. Идентифицирането и решаването на еквивалентни уравнения е ценно умение, не само в клас по алгебра но и в ежедневието. Разгледайте примери на еквивалентни уравнения, как да ги разрешите за една или повече променливи и как можете да използвате това умение извън класната стая.

Ключови заведения

  • Еквивалентните уравнения са алгебраични уравнения, които имат идентични решения или корени.
  • Добавянето или изваждането на едно и също число или израз от двете страни на уравнението произвежда еквивалентно уравнение.
  • Умножаването или разделянето на двете страни на уравнение по едно и също ненулево число произвежда еквивалентно уравнение.

Линейни уравнения с една променлива

Най-простите примери за еквивалентни уравнения нямат променливи. Например, тези три уравнения са еквивалентни едно на друго:

  • 3 + 2 = 5
  • 4 + 1 = 5
  • 5 + 0 = 5

Признаването на тези уравнения е еквивалентно е чудесно, но не особено полезно. Обикновено проблем с еквивалентно уравнение ви моли да разрешите за променлива, за да видите дали тя е една и съща (същата

корен) като този в друго уравнение.

Например, следните уравнения са еквивалентни:

  • x = 5
  • -2x = -10

И в двата случая х = 5. Как да разберем това? Как решавате това за уравнението "-2x = -10"? Първата стъпка е да знаете правилата на еквивалентните уравнения:

  • Добавяне или изваждането на едно и също число или израз от двете страни на уравнението произвежда еквивалентно уравнение.
  • Умножаването или разделянето на двете страни на уравнение по едно и също ненулево число произвежда еквивалентно уравнение.
  • Повишаване на двете страни на уравнението до същата странна мощност или вземането на един и същ нечетен корен ще доведе до еквивалентно уравнение.
  • Ако и двете страни на уравнението не саотрицателен, издигането на двете страни на уравнението до една и съща равномерна сила или вземане на един и същ равномерен корен ще даде еквивалентно уравнение.

пример

Прилагайки тези правила на практика, определете дали тези две уравнения са еквивалентни:

  • x + 2 = 7
  • 2x + 1 = 11

За да решите това, трябва да намерите "x" за всеки уравнение. Ако "x" е едно и също и за двете уравнения, тогава те са еквивалентни. Ако "x" е различен (т.е. уравненията имат различни корени), тогава уравненията не са еквивалентни. За първото уравнение:

  • x + 2 = 7
  • x + 2 - 2 = 7 - 2 (изваждане на двете страни с едно и също число)
  • x = 5

За второто уравнение:

  • 2x + 1 = 11
  • 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (изваждане на двете страни с едно и също число)
  • 2x = 10
  • 2x / 2 = 10/2 (разделяне на двете страни на уравнението на едно и също число)
  • x = 5

Така че, да, двете уравнения са еквивалентни, защото x = 5 във всеки случай.

Практически еквивалентни уравнения

Можете да използвате еквивалентни уравнения в ежедневния живот. Това е особено полезно при пазаруване. Например, харесвате определена риза. Една компания предлага ризата за $ 6 и има доставка за $ 12, докато друга компания предлага ризата за $ 7,50 и има $ 9 за доставка. Коя риза има най-добра цена? Колко ризи (може би искате да ги вземете за приятели) би трябвало да купите, за да бъде цената еднаква и за двете компании?

За да разрешите този проблем, нека "x" е броят на ризи. За начало задайте x = 1 за покупката на една риза. За фирма №1:

  • Цена = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 $

За компания №2:

  • Цена = 7.5x + 9 = (1) (7.5) + 9 = 7.5 + 9 = $ 16.50

Така че, ако купувате една риза, втората компания предлага по-добра сделка.

За да намерите точката, в която цените са равни, оставете "x" да остане броят на ризите, но задайте двете уравнения, равни една на друга. Решете за „х“, за да намерите колко ризи трябва да купите:

  • 6x + 12 = 7.5x + 9
  • 6x - 7,5x = 9 - 12 (изваждане същите числа или изрази от всяка страна)
  • -1,5x = -3
  • 1,5x = 3 (разделяне на двете страни на едно и също число, -1)
  • x = 3 / 1.5 (разделяне на двете страни с 1.5)
  • x = 2

Ако купите две ризи, цената е една и съща, без значение къде ще я получите. Можете да използвате същата математика, за да определите коя компания ви дава по-добра сделка с по-големи поръчки, както и да изчислите колко ще спестите, използвайки една компания над другата. Вижте, алгебрата е полезна!

Еквивалентни уравнения с две променливи

Ако имате две уравнения и две неизвестни (x и y), можете да определите дали две групи от линейни уравнения са еквивалентни.

Например, ако имате уравненията:

  • -3x + 12y = 15
  • 7x - 10y = -2

Можете да определите дали следната система е еквивалентна:

  • -x + 4y = 5
  • 7x -10y = -2

Да се решаване на този проблем, намерете "x" и "y" за всяка система от уравнения. Ако стойностите са едни и същи, тогава системите на уравнения са еквивалентни.

Започнете с първия комплект. За решаване на две уравнения с две променливи, изолирайте една променлива и включете нейното решение в другото уравнение. За да изолирате променливата "y":

  • -3x + 12y = 15
  • -3x = 15 - 12y
  • x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (включете за "x" във второто уравнение)
  • 7x - 10y = -2
  • 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
  • -35 + 28y - 10y = -2
  • 18y = 33
  • у = 33/18 = 11/6

Сега, включете "y" обратно в което и да е уравнение, за да решите за "x":

  • 7x - 10y = -2
  • 7x = -2 + 10 (11/6)

Правейки това, в крайна сметка ще получите x = 7/3.

За да отговорите на въпроса, вие бих могъл приложете същите принципи към втория набор от уравнения, за да решите за „х“ и „у“, за да откриете, че да, те наистина са еквивалентни. Лесно е да се затънете в алгебрата, така че е добра идея да проверите работата си с помощта на онлайн уравнение решаване.

Умният ученик обаче ще забележи, че двата множества уравнения са равностойни без изобщо да правите трудни изчисления. Единствената разлика между първото уравнение във всеки набор е, че първото е три пъти второто (еквивалентно). Второто уравнение е абсолютно същото.