Експоненциалните функции разказват историите на експлозивната промяна. Двата типа експоненциални функции са експоненциален растеж и експоненциален разпад. Четири променливи - процентна промяна, време, сума в началото на период от време и сума в края на периода - играят роли в експоненциални функции. Тази статия се фокусира върху това как да намерите сумата в началото на периода, а.
Експоненциален растеж
Експоненциален растеж: промяната, която настъпва, когато първоначалната сума се увеличава с постоянна ставка за определен период от време
Експоненциален растеж в реалния живот:
- Стойности на цените на жилищата
- Стойности на инвестициите
- Увеличено членство в популярен сайт за социални мрежи
Ето функция за експоненциален растеж:
ш = а (1 + б)х
- ш: Окончателна сума, останала за определен период от време
- а: Оригиналната сума
- х: Време
- Най- фактор на растеж е (1 +) б).
- Променливата, б, е процентна промяна в десетична форма.
Експоненциален разпад
Експоненциален разпад: промяната, която настъпва, когато първоначалната сума се намали с постоянна скорост за определен период от време
Експоненциален разпад в реалния живот:
- Спад на читателската работа на вестниците
- Спад на ударите в САЩ
- Брой хора, останали в град, засегнат от урагани
Ето функция за експоненциално разпадане:
ш = а (1-b)х
- ш: Окончателна сума, останала след разпадането за определен период от време
- а: Оригиналната сума
- х: Време
- Най- фактор на гниене е (1-б).
- Променливата, б, е процентно намаление в десетична форма.
Цел на намиране на първоначалната сума
Шест години от сега може би искате да продължите бакалавърска степен в университета Dream. С ценовата цена от 120 000 долара университетът Dream предизвиква финансови нощни ужаси. След безсънните нощи вие, мама и татко се срещате с финансов планировчик. Кръвните очи на вашите родители се изчистват, когато планиращият разкрие инвестиция с 8% ръст, който може да помогне на семейството ви да достигне целта от 120 000 долара. Учи здраво. Ако днес и родителите ви инвестирате 75 620,36 долара, тогава Университетът Dream ще се превърне във ваша реалност.
Как да решим първоначалната сума на експоненциална функция
Тази функция описва експоненциалния растеж на инвестицията:
120,000 = а(1 +.08)6
- 120 000: Окончателна сума, останала след 6 години
- .08: Годишен темп на растеж
- 6: Броят на годините за нарастване на инвестицията
- а: Първоначалната сума, която семейството ви е инвестирало
намек: Благодарение на симетричното свойство на равенството, 120 000 = а(1 +.08)6 е същото като а(1 +.08)6 = 120,000. (Симетрично свойство на равенството: Ако 10 + 5 = 15, тогава 15 = 10 +5.)
Ако предпочитате да пренапишете уравнението с константата, 120 000, отдясно на уравнението, тогава направете това.
а(1 +.08)6 = 120,000
При условие, уравнението не прилича на линейно уравнение (6а = 120 000 долара), но е разрешимо. Придържай се към него!
а(1 +.08)6 = 120,000
Внимавайте: Не разрешавайте това експоненциално уравнение, като разделяте 120 000 на 6. Това е примамлива математика не-не.
1. употреба Ред на операциите за опростяване.
а(1 +.08)6 = 120,000
а(1.08)6 = 120 000 (парентез)
а(1.586874323) = 120 000 (Експонент)
2. Решете чрез разделяне
а(1.586874323) = 120,000
а(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1а = 75,620.35523
а = 75,620.35523
Първоначалната сума или сумата, която семейството ви трябва да инвестира, е приблизително 75 620,36 долара.
3. Замразяване - все още не сте готови. Използвайте реда на операциите, за да проверите отговора си.
120,000 = а(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Скоба)
120 000 = 75 620,35523 (1.586874323) (Експонент)
120 000 = 120 000 (Умножение)
Упражнения за упражнения: отговори и обяснения
Ето примери как да се реши за първоначалната сума, като се има предвид експоненциалната функция:
-
84 = а(1+.31)7
Използвайте Ред на операциите, за да опростите.
84 = а(1.31)7 (Скоба)
84 = а(6.620626219) (Експонент)
Разделете за решаване.
84/6.620626219 = а(6.620626219)/6.620626219
12.68762157 = 1а
12.68762157 = а
Използвайте Поръчка на операциите, за да проверите отговора си.
84 = 12.68762157(1.31)7 (Скоба)
84 = 12.68762157 (6.620626219) (Експонент)
84 = 84 (Умножение) -
а(1 -.65)3 = 56
Използвайте Ред на операциите, за да опростите.
а(.35)3 = 56 (Парентеза)
а(.042875) = 56 (експонент)
Разделете за решаване.
а(.042875)/.042875 = 56/.042875
а = 1,306.122449
Използвайте Поръчка на операциите, за да проверите отговора си.
а(1 -.65)3 = 56
1,306.122449(.35)3 = 56 (Парентеза)
1,306.122449 (.042875) = 56 (Експонент)
56 = 56 (Умножете) -
а(1 + .10)5 = 100,000
Използвайте Ред на операциите, за да опростите.
а(1.10)5 = 100 000 (парентез)
а(1.61051) = 100 000 (експонент)
Разделете за решаване.
а(1.61051)/1.61051 = 100,000/1.61051
а = 62,092.13231
Използвайте Поръчка на операциите, за да проверите отговора си.
62,092.13231(1 + .10)5 = 100,000
62,092.13231(1.10)5 = 100 000 (парентез)
62 092.13231 (1.61051) = 100 000 (експонент)
100 000 = 100 000 (Умножете) -
8,200 = а(1.20)15
Използвайте Ред на операциите, за да опростите.
8,200 = а(1.20)15 (Експонента)
8,200 = а(15.40702157)
Разделете за решаване.
8,200/15.40702157 = а(15.40702157)/15.40702157
532.2248665 = 1а
532.2248665 = а
Използвайте Поръчка на операциите, за да проверите отговора си.
8,200 = 532.2248665(1.20)15
8,200 = 532,2248665 (15.40702157) (Експонент)
8,200 = 8200 (Е, 8,199,9999... Само малка грешка в закръглянето.) (Умножете.) -
а(1 -.33)2 = 1,000
Използвайте Ред на операциите, за да опростите.
а(.67)2 = 1000 (парентез)
а(.4489) = 1000 (експонент)
Разделете за решаване.
а(.4489)/.4489 = 1,000/.4489
1а = 2,227.667632
а = 2,227.667632
Използвайте Поръчка на операциите, за да проверите отговора си.
2,227.667632(1 -.33)2 = 1,000
2,227.667632(.67)2 = 1000 (парентез)
2,227.667632 (.4489) = 1000 (Експонент)
1000 = 1000 (Умножете) -
а(.25)4 = 750
Използвайте Ред на операциите, за да опростите.
а(.00390625) = 750 (Експонент)
Разделете за решаване.
а(.00390625)/00390625= 750/.00390625
1а = 192 000
a = 192 000
Използвайте Поръчка на операциите, за да проверите отговора си.
192,000(.25)4 = 750
192,000(.00390625) = 750
750 = 750