Определение и използване на съединението в математиката

Една операция, която често се използва за формиране на нови набори от стари, се нарича съюз. В обща употреба думата съюз означава обединяване, като например обединения в организиран труд или Държава на Съюза адрес, който САЩ президент прави преди съвместна сесия на Конгреса. В математически смисъл обединението на два множества запазва тази идея за обединяване. По-точно обединението на две групи А и B е съвкупността от всички елементи х такива, че х е елемент от множеството А или х е елемент от множеството B. Думата, която означава, че използваме съюз, е думата „или“.

Когато използваме думата „или“ в ежедневните разговори, може да не осъзнаваме, че тази дума се използва по два различни начина. Начинът обикновено се извежда от контекста на разговора. Ако ви попитаха „Бихте ли искали пилето или пържолата?“ обичайното значение е, че може да имате едното или другото, но не и двете. Контрастирайте това с въпроса: „Искате ли масло или заквасена сметана върху вашия печен картоф?“ Тук "или" е използван в приобщаващия смисъл, че можете да изберете само масло, само заквасена сметана или едновременно масло и кисело сметана.

В математиката думата „или“ се използва в приобщаващия смисъл. Така че изявлението, "х е елемент на А или елемент от B"означава, че е възможно едно от трите:

• х е елемент на справедливо А а не елемент на B
• х е елемент на справедливо B а не елемент на А.
• х е елемент и от двете А и B. (Бихме могли да кажем и това х е елемент от пресечната точка на А и B

За пример как обединението на два множества образува нов набор, нека разгледаме множествата А = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. За да намерим съединението на тези два набора, ние просто изброяваме всеки елемент, който виждаме, като внимаваме да не дублираме никакви елементи. Числата 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 са в едното или другото множество, следователно обединението на А и B е {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

В допълнение към разбирането на концепциите, отнасящи се до теоретичните операции, е важно да може да се четат символи, използвани за означаване на тези операции. Символът, използван за обединението на двата множества А и B се дава от А ∪ B. Един от начините да запомните символа ∪, който се отнася до обединението, е да забележите приликата му с главна U, която е кратко за думата „съюз“. Внимавайте, защото символът за обединение е много подобен на символа за пресичане. Единият се получава от другия чрез вертикален флип.

За да видите тази нотация в действие, вижте горния пример. Тук имахме комплектите А = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Така че бихме написали зададеното уравнение А ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

Една основна идентичност, която включва обединението, ни показва какво се случва, когато вземем обединението на всеки набор с празния набор, обозначен с # 8709. Празният комплект е комплектът без елементи. Така че присъединяването на това към всеки друг набор няма да има ефект. С други думи, обединението на всеки набор с празния набор ще ни върне оригиналния набор

Тази идентичност става още по-компактна с използването на нашата нотация. Имаме самоличност: А ∪ ∅ = А.

За другата крайност, какво се случва, когато изследваме съюз на набор с универсалния комплект? Тъй като универсалният набор съдържа всеки елемент, не можем да добавим нищо друго към това. Така че съединението или всеки комплект с универсалния набор е универсалният набор.

Отново нашата нотация ни помага да изразим тази идентичност в по-компактен формат. За всеки комплект А и универсалния комплект U, А ∪ U = U.

Има много повече зададени идентичности, които включват използването на операцията на съюз. Разбира се, винаги е добре практика използвайки езика на теорията на множествата. По-долу са посочени няколко от по-важните. За всички комплекти А, и B и д ние имаме:

• Рефлексивна собственост: А ∪ А =А
• Комутативна собственост: А ∪ B = B ∪ А
• Асоциативна собственост: (А ∪ B) ∪ д =А ∪ (B ∪ д)
• Законът на DeMorgan I: (А ∩ B)^{° С} = А^{° С} ∪ B^{° С}
• Законът на DeMorgan II: (А ∪ B)^{° С} = А^{° С} ∩ B^{° С}