В математиката символи, които имат определени значения в английския език може да означава много специализирани и различни неща. Например, помислете за следния израз:
3!
Не, не използвахме удивителен знак за да покажем, че сме развълнувани около три и не трябва да четем последното изречение с акцент. В математиката изразът 3! се чете като "три факторни" и наистина е кратък начин за обозначаване на умножението на няколко последователни цели числа.
Тъй като има много места в математиката и статистиката, където трябва да умножим числата заедно, факторът е доста полезен. Някои от основните места, където се появява, са комбинаториката и вероятността смятане.
дефиниция
Определението на фактологията е, че за всяко положително цяло число н, факторът:
н! = n x (n -1) x (n - 2) x... x 2 x 1
Примери за малки ценности
Първо ще разгледаме няколко примера на фабриката с малки стойности на н:
- 1! = 1
- 2! = 2 х 1 = 2
- 3! = 3 x 2 x 1 = 6
- 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
- 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
- 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
- 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
- 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
- 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
- 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800
Както виждаме, фабриката става много голяма много бързо. Нещо, което може да изглежда малко, например 20! всъщност има 19 цифри.
Факториалите са лесни за изчисляване, но те могат да бъдат малко досадни за изчисляване. За щастие, много калкулатори имат фабричен ключ (потърсете! символ). Тази функция на калкулатора ще автоматизира умноженията.
Специален случай
Друга стойност на фабриката и тази, за която стандартната дефиниция по-горе не важи, е тази на нула фактория. Ако следваме формулата, тогава не бихме стигнали до никаква стойност за 0!. Няма положителни цели числа, по-малки от 0. По няколко причини е подходящо да се определи 0! = 1. Факториалът за тази стойност се появява особено във формулите за комбинации и пермутации.
Повече разширени изчисления
Когато се занимаваме с изчисления, е важно да помислим, преди да натиснем факторния ключ на нашия калкулатор. За изчисляване на израз като 100! / 98! има няколко различни начина за това.
Един от начините е да използвате a калкулатор за да намерите и двете 100! и 98!, след това разделете една от друга. Въпреки че това е директен начин за изчисляване, той има някои трудности, свързани с него. Някои калкулатори не могат да се справят с изрази до 100! = 9.33262154 х 10157. (Изразът 10157 е научно обозначение, което означава, че умножаваме по 1, последвано от 157 нули.) Това число не само е масивно, но е и само оценка на реалната стойност на 100!
Друг начин за опростяване на израза с факториали като този, който се вижда тук, изобщо не изисква калкулатор. Начинът да се подходи към този проблем е да се признае, че можем да пренапишем 100! не като 100 x 99 x 98 x 97 x... x 2 x 1, но вместо 100 x 99 x 98! Изразът 100! / 98! сега става (100 х 99 х 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.