Какво представляват обратното, противоположното и обратното?

Условните изявления се появяват навсякъде. В математиката или другаде не е нужно много време да се натъкнете на нещо от формата „Ако P тогава Q. " Условните изявления наистина са важни. Важното са също изявленията, които са свързани с първоначалното условно изявление чрез промяна на позицията на P, Q и отричането на изявление. Започвайки с оригинално изявление, завършваме с три нови условни израза, които са наречени обратното, противоположното и обратен.

Преди да определим обратното, противоположното и обратното на условно изявление, трябва да разгледаме темата за отрицанието. Всяко изявление в логика е или вярно, или невярно. Отричането на изявление просто включва вмъкването на думата „не“ в правилната част на изявлението. Добавянето на думата „не“ се прави така, че да промени статуса на истинността на изявлението.

Ще помогне да се разгледа пример. Изявлението „The десен триъгълник е равностранен “има отрицание„ Дясният триъгълник не е равностранен. “ Отрицанието „10 е четно число“ е изразът „10 не е четно число“. Разбира се, за това последен пример, можем да използваме дефиницията на нечетно число и вместо това да кажем, че „10 е нечетно число“. Отбелязваме, че истинността на едно твърдение е противоположна на тази на отрицание.

Ще разгледаме тази идея в по-абстрактна обстановка. Когато изявлението P е вярно, твърдението „не P”Е невярно. По същия начин, ако P е невярно, отрицанието му „неP" истина е. Отрицанията обикновено се обозначават с тилда ~. Така че вместо да пишете „не P”Можем да пишем ~P.

Сега можем да определим обратното, противоположното и обратното на условно изявление. Започваме с условното изявление „Ако P тогава Q.”

• Обратното на условното изявление е „Ако Q тогава P.”
• Противоположният на условното изявление е „Ако не Q тогава не P.”
• Обратното на условното изявление е „Ако не P тогава не Q.”

Ще видим как тези твърдения работят с пример. Да предположим, че започваме с условното изявление „Ако вали снощи, значи тротоарът е мокър.“

• Обратното на условното изявление е „Ако тротоарът е мокър, тогава вали снощи.“
• Противоположното на условното изявление е „Ако тротоарът не е мокър, тогава не вали снощи.“
• Обратното на условното твърдение е „Ако не валеше снощи, тогава тротоарът не е мокър.“

Може да се чудим защо е важно тези условни изявления да се формират от първоначалните ни. Внимателният поглед към горния пример разкрива нещо. Да предположим, че първоначалното твърдение „Ако вали снощи, значи тротоарът е мокър“ е вярно. Кое от другите твърдения също трябва да е вярно?

• Обратното „Ако тротоарът е мокър, значи снощи вали” не е задължително вярно. Тротоарът може да бъде мокър по други причини.
• Обратното „Ако не валеше снощи, тогава тротоарът не е мокър“ не е задължително вярно. Отново, само защото не валеше не означава, че тротоарът не е мокър.
• Противоположният „Ако тротоарът не е мокър, тогава не е валял снощи“ е вярно твърдение.

Това, което виждаме от този пример (и това, което може да се докаже математически), е, че условното изявление има същата стойност на истината като неговата противоположност. Казваме, че тези две твърдения са логически еквивалентни. Виждаме също, че условното изявление не е логически еквивалентно на неговото обратното и обратното.

Тъй като едно условно изявление и неговият контрапозитив са логически еквивалентни, можем да използваме това в наша полза, когато доказваме математически теореми. Вместо да доказваме директно истинността на условното твърдение, вместо това можем да използваме стратегията за непряко доказателство, за да докажем истинността на контрастността на това твърдение. Противоположните доказателства действат, защото ако контрапозитивът е верен, поради логическа еквивалентност, първоначалното условно твърдение също е вярно.

Оказва се, че въпреки че обратното и обратното не са логически еквивалентни на първоначалното условно изявление, те са логично равностойни един на друг. За това има лесно обяснение. Започваме с условното изявление „Ако Q тогава P”. Противоположният на това твърдение е „Ако не P тогава не Q. " Тъй като обратното е противоположно на обратното, обратното и обратното са логически еквивалентни.