Вероятности за търкаляне на три зарчета

Зарове предоставят страхотни илюстрации за понятия с вероятност. Най-често използваните зарчета са кубчета с шест страни. Тук ще видим как да изчислим вероятностите за търкаляне на три стандартни зарчета. Относително стандартен проблем е да се изчисли вероятността за получената от навиване на две зарчета. Има общо 36 различни ролки с две зарчета, като всяка възможна сума е от 2 до 12.Как се променя проблемът, ако добавим още зарчета?

Точно както една умира има шест резултата, а две зарчета имат 6² = 36 резултата, вероятностният експеримент за разточване на три зарчета има 6³ = 216 резултата. Тази идея се обобщава допълнително за повече зарове. Ако се търкаляме н зарчета тогава има 6^н резултати.

Можем да разгледаме и възможните суми от хвърляне на няколко зарчета. Най-малката възможна сума се получава, когато всички зарчета са най-малки или по една. Това дава сума от три, когато разточваме три зарчета. Най-голямото число на матрица е шест, което означава, че най-голямата възможна сума се получава, когато и трите зарчета са шестици. Сумата от тази ситуация е 18.

Кога н заровете се разточват, възможно най-малко е сумата н а най-голямата възможна сума е 6н.

• Има един възможен начин, по който три зарчета могат да бъдат общо 3
• 3 начина за 4
• 6 за 5
• 10 за 6
• 15 за 7
• 21 за 8
• 25 за 9
• 27 за 10
• 27 за 11
• 25 за 12
• 21 за 13
• 15 за 14
• 10 за 15
• 6 за 16
• 3 за 17
• 1 за 18

Както беше обсъдено по-горе, за три зарчета възможните суми включват всяко число от три до 18. Вероятностите могат да бъдат изчислени чрез използване стратегии за броене и признавайки, че търсим начини да разделим число на точно три цели числа. Например, единственият начин за получаване на сума от три е 3 = 1 + 1 + 1. Тъй като всяка матрица е независима от останалите, сума като четири може да бъде получена по три различни начина:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

По-нататъшното преброяване на аргументите може да се използва за намиране на броя на начините за формиране на останалите суми. Следните дялове за всяка сума:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Когато три различни числа образуват дяла, като 7 = 1 + 2 + 4, има 3! (3x2x1) различни начини на пермутиране тези числа. Така че това ще се счита за три резултата в извадковото пространство. Когато две различни числа образуват дяла, тогава има три различни начина на разрешаване на тези числа.

Разделяме общия брой начини за получаване на всяка сума на общия брой резултати в примерно пространствоили 216. Резултатите са:

• Вероятност за сума от 3: 1/216 = 0,5%
• Вероятност за сума от 4: 3/216 = 1,4%
• Вероятност за сума от 5: 6/216 = 2,8%
• Вероятност за сума от 6: 10/216 = 4,6%
• Вероятност за сума от 7: 15/216 = 7.0%
• Вероятност за сума от 8: 21/216 = 9,7%
• Вероятност за сума от 9: 25/216 = 11,6%
• Вероятност за сума от 10: 27/216 = 12,5%
• Вероятност за сума от 11: 27/216 = 12,5%
• Вероятност за сума от 12: 25/216 = 11,6%
• Вероятност за сума от 13: 21/216 = 9,7%
• Вероятност за сума от 14: 15/216 = 7.0%
• Вероятност за сума от 15: 10/216 = 4.6%
• Вероятност за сума от 16: 6/216 = 2,8%
• Вероятност за сума от 17: 3/216 = 1,4%
• Вероятност за сума от 18: 1/216 = 0,5%

Както се вижда, крайните стойности от 3 и 18 са най-малко вероятни. Сумите, които са точно по средата, са най-вероятни. Това съответства на наблюдаваното при разточване на две зарчета.