Какво е число? Ами това зависи. Има разнообразие от различни видове числа, всяко със свои специфични свойства. Един вид номер, върху който статистика, вероятността и голяма част от математиката се основава, се нарича реално число.
За да научим какво е истинско число, първо ще направим кратка обиколка от други видове числа.
Видове числа
Първо научаваме за числата, за да броим. Започнахме с съвпадение на числата 1, 2 и 3 с пръсти. Тогава ние продължихме да вървим възможно най-високо, което вероятно не беше толкова високо. Тези броещи числа или естествени числа бяха единствените числа, за които знаехме.
По-късно, когато се занимаваме с изваждане, отрицателен бяха въведени цели числа. Множеството положителни и отрицателни цели числа се нарича набор от цели числа. Малко след това бяха разгледани рационални числа, наричани още дроби. Тъй като всяко цяло число може да бъде записано като дроб с 1 в знаменателя, казваме, че целите числа образуват подмножество от рационалните числа.
Най- древни гърци
осъзнаха, че не всички числа могат да се образуват като дроб. Например, квадратният корен от 2 не може да се изрази като дроб. Тези видове числа се наричат ирационални числа. Ирационалните числа изобилстват и донякъде изненадващо в определен смисъл има повече ирационални числа, отколкото рационални числа. Други ирационални номера включват пи и д.Десетични разширения
Всяко реално число може да бъде записано като десетична. Различните видове реални числа имат различни видове десетични разширения. Десетичното разширение на рационалното число е прекратяващо, като 2, 3.25 или 1.2342, или се повтаря, като .33333.. . Или .123123123.. . За разлика от това десетичното разширяване на ирационалното число е непрекъснато и не се повтаря. Това можем да видим в десетичното разширение на pi. Има безкраен низ от цифри за pi и нещо повече - няма низ от цифри, който да се повтаря безкрайно.
Визуализация на истинските числа
Реалните числа могат да бъдат визуализирани чрез свързване на всяко едно от тях с една от безкрайния брой точки по права линия. Реалните числа имат ред, което означава, че за всяко две отделни реални числа можем да кажем, че едното е по-голямо от другото. По конвенция, придвижването вляво по реалната цифрова линия съответства на по-малки и по-малки числа. Придвижването вдясно по линията на реалното число съответства на по-големи и по-големи числа.
Основни свойства на истинските числа
Реалните числа се държат като други числа, с които сме свикнали да се занимаваме. Можем да ги добавяме, изваждаме, умножаваме и делим (стига да не се разделим на нула). Редът за събиране и умножение е маловажен, тъй като има комутативно свойство. А дистрибутивното свойство ни казва как умножението и сумирането си взаимодействат помежду си.
Както споменахме по-рано, реалните числа притежават поръчка. Предвид всякакви две реални числа х и ш, знаем, че е вярно едно и само едно от следните:
х = ш, х < ш или х > ш.
Друга собственост - пълнота
Свойството, което определя действителните числа освен други набори от числа, като рационалните, е свойство, известно като пълнота. Пълнотата е малко техническа за обяснение, но интуитивното схващане е, че множеството рационални числа има пропуски в нея. Наборът от реални числа няма пропуски, защото е пълен.
Като илюстрация ще разгледаме последователността от рационални числа 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,... Всеки термин от тази последователност е сближаване към pi, получен чрез прерязване на десетичното разширение за pi. Условията на тази последователност се доближават и се доближават до pi. Както споменахме обаче, пи не е рационално число. Трябва да използваме ирационални числа, за да включим дупките на числовата линия, които се появяват, като се вземат предвид само рационалните числа.
Колко истински числа?
Не трябва да е изненада, че има безкраен брой реални числа. Това може да се види доста лесно, когато вземем предвид, че цели числа образуват подмножество от реалните числа. Това също бихме могли да видим, като разбрахме, че числовата линия има безкраен брой точки.
Учудващото е, че безкрайността, използвана за преброяване на реалните числа, е от различен вид от безкрайността, използвана за преброяване на цели числа. Цели числа, цели числа и рационали са безкрайно безкрайни. Наборът от реални числа е безчетно безкраен.
Защо да ги наречем истински?
Реалните числа получават името си, за да ги разделят още по-нататъшно обобщаване на понятието число. Въображаемото число аз се дефинира като квадратния корен на отрицателния. Всяко реално число, умножено по аз е известен и като въображаемо число. Въображаемите числа определено разтягат представата ни за числото, тъй като те изобщо не са това, за което сме мислили, когато за първи път се научихме да броим.