Не всички безкрайни множества са еднакви. Един от начините за разграничаване между тези набори е като попитате дали множеството е сравнимо безкраен или не. По този начин казваме, че безкрайните множества са или счетливи, или безчетливи. Ще разгледаме няколко примера за безкрайни множества и ще определим кои от тях са безчетни.
Безбройно безкрайно
Започваме, като изключваме няколко примера за безкрайни множества. Много от безкрайните множества, за които веднага бихме се сетили, са намерени като безкрайно безкрайни. Това означава, че те могат да бъдат поставени в съответствие едно към едно с естествените числа.
Естествените числа, цели числа и рационални числа са безкрайно безкрайни. Всеки съюз или пресичане на безкрайно безкрайни множества също може да се отчита. Декартовият продукт на произволен брой сменяеми набори е счетлив. Всяко подмножество на счетния набор също може да се преброява.
несметен
Най-често срещаният начин за въвеждане на неизчислими множества е при отчитане на интервала (0, 1) на
реални числа. От този факт и функцията едно към едно е( х ) = BX + а. пряко следствие е да се покаже, че всеки интервал (а, б) на реалните числа е безчетно безкраен.Целият набор от реални числа също не се брои. Един от начините да се покаже това е да се използва допирателната функция един към един е ( х ) = тен х. Домейнът на тази функция е интервалът (-π / 2, π / 2), неизчислим набор, а диапазонът е множеството на всички реални числа.
Други начисляеми комплекти
Операциите на основната теория на множествата могат да бъдат използвани за получаване на повече примери за безчислено безкрайни множества:
- ако А е подмножество от B и А не е счетоводно, тогава е така B. Това осигурява по-ясно доказателство, че целият набор от реални числа не може да се изчисли.
- ако А не се отчита и B е всеки набор, тогава съюзът А U B също е безчетлив.
- ако А не се отчита и B е всеки комплект, тогава декартовият продукт А х B също е безчетлив.
- ако А е безкраен (дори безкрайно безкраен) след това мощност на А е безчет.
Други два примера, които са свързани един с друг, са донякъде изненадващи. Не всяко подмножество на реалните числа е безбройно безкрайно (всъщност, рационалните числа образуват преброителен подмножество на реалните числа, които също са плътни). Някои подмножества са безчетно безкрайни.
Едно от тези неизброимо безкрайни подмножества включва някои видове десетични разширения. Ако изберем две цифри и образуваме всяко възможно десетично разширение само с тези две цифри, тогава полученият безкраен набор е безчет.
Друг набор е по-сложен за конструиране и също не може да бъде изчислен. Започнете със затворения интервал [0,1]. Извадете средната третина на този комплект, което води до [0, 1/3] U [2/3, 1]. Сега извадете средната третина на всяко от останалите парчета от комплекта. И така (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9) се премахва. Продължаваме по този начин. Наборът от точки, които остават след премахването на всички тези интервали, не е интервал, но той е безчетно безкраен. Този набор се нарича Cantor Set.
Има безкрайно много неизчислими множества, но горните примери са някои от най-често срещаните набори.