Векторна математика: Основно, но всеобхватно въведение

Това е основно, макар и да се надяваме, доста изчерпателно, въведение в работата с вектори. Векторите се проявяват по най-различни начини от изместване, скорост и ускорение до сили и полета. Тази статия е посветена на математиката на векторите; тяхното приложение в конкретни ситуации ще бъде разгледано на друго място.

А векторно количество, или вектор, предоставя информация за не само големината, но и посоката на количеството. Когато давате указания на къща, не е достатъчно да се каже, че тя е на 10 мили, но трябва да се посочи и посоката от тези 10 мили, за да може информацията да бъде полезна. Променливите, които са вектори, ще бъдат обозначени с получерва променлива, въпреки че е обичайно да се виждат вектори, обозначени с малки стрелки над променливата.

Както не казваме, че другата къща е на -10 мили, величината на вектора винаги е положително число, или по-скоро абсолютната стойност на "дължината" на вектора (въпреки че количеството може да не е дължина, може да е скорост, ускорение, сила и т.н.) Отрицателят пред вектора не показва промяна в величината, а по-скоро в посока на вектор.

В горните примери разстоянието е скаларното количество (10 мили), но изместване е количеството на вектора (10 мили на североизток). По същия начин скоростта е скаларно количество, докато скоростта е a вектор количество.

А единичен вектор е вектор, който има величина една. Вектор, представляващ единичен вектор, обикновено е също така удебелен, въпреки че ще има карат (^) над него, за да посочи единичния характер на променливата. Единен вектор х, когато се пише с карат, обикновено се чете като "x-hat", защото каратът изглежда като шапка на променливата.

Най- нулев вектор, или нулев вектор, е вектор с магнитуд нула. Написано е като 0 в тази статия.

Векторите обикновено са ориентирани към координатна система, най-популярната от които е двумерната декартова равнина. Декартовата равнина има хоризонтална ос, която е означена x и вертикална ос, означена y. Някои усъвършенствани приложения на векторите във физиката изискват използване на триизмерно пространство, в което осите са x, y и z. Тази статия ще се занимава най-вече с двуизмерната система, въпреки че концепциите могат да бъдат разширени с известна грижа до три измерения без много проблеми.

Векторите в многоизмерните координатни системи могат да бъдат разделени на техните компоненти вектори. В двуизмерния случай това води до a х-компонент и a у-компонент. Когато разбиваме вектор на неговите компоненти, векторът е сбор от компонентите:

F = F_х + F_ш

тетаF_хF_шF

F_х / F = cos тета и F_ш / F = грех тетакоето ни дава
F_х = F косинус тета и F_ш = F грях тета

Обърнете внимание, че числата тук са величините на векторите. Ние знаем посоката на компонентите, но се опитваме да намерим тяхната величина, затова премахваме информацията за посоката и извършваме тези скаларни изчисления, за да разберем величината. По-нататъшното приложение на тригонометрията може да се използва за намиране на други взаимоотношения (като допирателната), свързани между някои от тези количества, но мисля, че това е достатъчно за сега.

В продължение на много години единствената математика, която ученикът учи, е скаларна математика. Ако пътувате на 5 мили на север и на 5 мили на изток, сте пропътували 10 мили. Добавянето на скаларни количества игнорира цялата информация за посоките.

Векторите се манипулират някак по различен начин. Посоката трябва винаги да се взема предвид при манипулирането им.

Когато добавите два вектора, все едно сте взели векторите и сте ги поставили от край до край и сте създали нов вектор, който работи от началната до крайната точка. Ако векторите имат една и съща посока, тогава това означава само добавяне на величините, но ако те имат различни посоки, това може да стане по-сложно.

Вие добавяте вектори, като ги разбивате на техните компоненти и след това добавяте компонентите, както е посочено по-долу:

а + б = ° С
а_х + а_ш + б_х + б_ш =
( а_х + б_х) + ( а_ш + б_ш) = ° С_х + ° С_ш

Двата x-компонента ще доведат до x-компонента на новата променлива, докато двата y-компонента водят до y-компонента на новата променлива.

Редът, в който добавяте векторите, няма значение. Всъщност няколко свойства от скаларното добавяне притежават за векторно добавяне:

Идентичност Свойство на векторното допълнение
а + 0 = а
Обратно свойство на векторното допълнение
а + -а = а - а = 0
Отражателно свойство на векторното допълнение
а = а
Комутативна собственост на векторно допълнение
а + б = б + а
Асоциативна собственост на векторното допълнение
(а + б) + ° С = а + (б + ° С)
Преходно свойство на векторното допълнение
ако а = б и ° С = б, тогава а = ° С

Най-простата операция, която може да се извърши на вектор, е да се умножи по скалар. Това скаларно умножение променя величината на вектора. С други думи, това прави вектора по-дълъг или по-къс.

Когато умножим пъти отрицателен скалар, полученият вектор ще сочи в обратна посока.

Най- скаларен продукт на два вектора е начин да ги умножим заедно, за да се получи скаларно количество. Това е написано като умножение на двата вектора, като точка в средата представлява умножението. Като такъв, той често се нарича точков продукт на два вектора.

За да изчислите точковото произведение на два вектора, имате предвид ъгъла между тях. С други думи, ако те споделят една и съща начална точка, какво би било измерването на ъгъла (тета) между тях. Точков продукт се дефинира като:

а * б = аб косинус тета

абAbba

В случаите, когато векторите са перпендикулярни (или тета = 90 градуса), cos тета ще бъде нула. Следователно, точков продукт на перпендикулярните вектори винаги е нула. Когато векторите са успоредна (или тета = 0 градуса), cos тета е 1, така че скаларният продукт е просто продукт на величините.

Тези чисти малки факти могат да бъдат използвани, за да се докаже, че ако знаете компонентите, можете да премахнете нуждата от тета изцяло с (двумерното) уравнение:

а * б = а_х б_х + а_ш б_ш

Най- вектор продукт се изписва във формата а х б, и обикновено се нарича кръстосан продукт на два вектора. В този случай ние умножаваме векторите и вместо да получим скаларно количество, ще получим векторно количество. Това е най-сложният от векторните изчисления, с които ще се занимаваме, както е не комутативна и включва използването на страховити правило за дясна ръка, до което ще стигна скоро.

Отново считаме два вектора, изтеглени от една и съща точка, с ъгъла тета между тях. Ние винаги вземаме най-малкия ъгъл, така че тета винаги ще бъде в диапазон от 0 до 180 и следователно резултатът никога няма да бъде отрицателен. Величината на получения вектор се определя, както следва:

ако ° С = а х б, тогава ° С = аб грях тета

Векторният продукт на паралелни (или антипаралелни) вектори винаги е нула

Векторният продукт ще бъде перпендикулярен на равнината, създадена от тези два вектора. Ако представите плоскостта като плоска на маса, въпросът става дали вървещият в резултат вектор нагоре (нашата „навън“ от масата, от нашата гледна точка) или надолу (или „в“ таблицата, от нашата перспектива).

За да разберете това, трябва да приложите това, което се нарича правило за дясна ръка. Когато учех физика в училище, аз омразния правилото на дясната ръка. Всеки път, когато го използвах, трябваше да извадя книгата, за да видя как работи. Надявам се, че описанието ми ще е малко по-интуитивно от това, с което бях запозната.

Ако имате а х б ще поставите дясната си ръка по дължината на б така че пръстите ви (с изключение на палеца) могат да се извиват, за да сочат а. С други думи, вие се опитвате да направите ъгъла тета между дланта и четири пръста на дясната ръка. В този случай палецът ще стърчи право нагоре (или извън екрана, ако се опитате да го направите до компютъра). Кокалчетата ви ще бъдат грубо подредени с началната точка на двата вектора. Точността не е от съществено значение, но искам да получите идеята, тъй като нямам представа за това.

Ако обаче обмисляте б х а, ще направите обратното. Ще сложите дясната си ръка а и насочете пръстите си напред б. Ако се опитате да направите това на екрана на компютъра, ще ви се стори невъзможно, затова използвайте въображението си. Ще откриете, че в този случай вашият въображаем палец е насочен към екрана на компютъра. Това е посоката на получения вектор.

Правилото вдясно показва следната връзка:

а х б = - б х а

cabc

° С_х = а_ш б_Z - а_Z б_ш
° С_ш = а_Z б_х - а_х б_Z
° С_Z = а_х б_ш - а_ш б_х

аб° С_х° С_ш° С

При по-високи нива векторите могат да бъдат изключително сложни за работа. Целите курсове в колежа, като линейна алгебра, отделят много време на матриците (което любезно избягвах в това въведение), векторите и векторни пространства. Това ниво на детайлност е извън обхвата на тази статия, но това трябва да осигури основите, необходими за по-голямата част от векторните манипулации, които се извършват в учебната зала по физика. Ако възнамерявате да изучавате физика в по-голяма дълбочина, ще се запознаете с по-сложните векторни понятия, докато продължите с образованието си.