Решения за оспорване на проблемите с броенето

Преброяването може да изглежда като лесна задача за изпълнение. Тъй като навлизаме по-дълбоко в района на математика познат като комбинаторика, осъзнаваме, че се натъкваме на някои големи числа. От времето на факториел се появява толкова често и число като 10! е по-голяма от три милион, броят на проблемите може да се усложни много бързо, ако се опитаме да изброим всички възможности.

Понякога, когато обмисляме всички възможности, които нашите проблеми с броенето могат да се възползват, е по-лесно да мислим чрез основните принципи на проблема. Тази стратегия може да отнеме много по-малко време, отколкото да опитвате груба сила, за да изброите редица комбинации или пермутации.

Въпросът "По колко начина може да се направи нещо?" е различен въпрос изцяло от „Какви са начините че нещо може да се направи? “Ще видим тази идея на работа в следващия набор от броене на предизвикателства проблеми.

Следващият набор от въпроси включва думата TRIANGLE. Обърнете внимание, че има общо осем букви. Нека се разбере, че

1. По колко начина могат да се подредят буквите на думата TRIANGLE?
   Решение: Тук има общо осем варианта за първата буква, седем за втората, шест за третата и т.н. По принципа на умножение умножаваме за общо 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40 320 различни начина.
2. Колко начина могат да бъдат подредени буквите на думата TRIANGLE, ако първите три букви трябва да са RAN (в точния ред)?
   Решение: Първите три букви са избрани за нас, оставяйки ни пет букви. След RAN имаме пет избор за следващото писмо, последвано от четири, след това три, след това две, след това едно. По принципа на умножение има 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 начина за подреждане на буквите по определен начин.
3. Колко начина могат да бъдат подредени буквите на думата TRIANGLE, ако първите три букви трябва да са RAN (в произволен ред)?
   Решение: Вижте това като две независими задачи: първата подрежда буквите RAN, а втората подрежда останалите пет букви. Има 3! = 6 начина да подредите RAN и 5! Начини за подреждане на останалите пет букви. Значи има общо 3! х 5! = 720 начина да подредите буквите на TRIANGLE, както е посочено.
4. Колко начина могат да бъдат подредени буквите на думата TRIANGLE, ако първите три букви трябва да са RAN (в произволен ред), а последната буква трябва да бъде гласна?
   Решение: Вижте това като три задачи: първата подрежда буквите RAN, втората избира една гласна от I и E, а третата подрежда останалите четири букви. Има 3! = 6 начина за подреждане на RAN, 2 начина за избор на гласна от останалите букви и 4! Начини за подреждане на останалите четири букви. Значи има общо 3! X 2 x 4! = 288 начина да подредите буквите на TRIANGLE, както е посочено.
5. Колко начина могат да бъдат подредени буквите на думата TRIANGLE, ако първите три букви трябва да са RAN (в произволен ред), а следващите три букви трябва да са TRI (в произволен ред)?
   Решение: Отново имаме три задачи: първата подрежда буквите RAN, втората подрежда буквите TRI и третата подрежда другите две букви. Има 3! = 6 начина да подредите RAN, 3! начини за подреждане на TRI и два начина за подреждане на останалите букви. Значи има общо 3! х 3! X 2 = 72 начина да подредите буквите на TRIANGLE, както е посочено.
6. Колко различни начина могат да бъдат подредени буквите на думата TRIANGLE, ако редът и разположението на гласните IAE не могат да бъдат променени?
   Решение: Трите гласни трябва да се съхраняват в един и същ ред. Сега има общо пет съгласни за подреждане. Това може да стане за 5! = 120 начина.
7. Колко различни начина могат да бъдат подредени буквите на думата TRIANGLE, ако редът на гласните IAE не може да бъдат променени, въпреки че тяхното поставяне може (IAETRNGL и TRIANGEL са приемливи, но EIATRNGL и TRIENGLA са не)?
   Решение: Това е най-добре помислено в две стъпки. Първата стъпка е да изберете местата, на които гласните отиват. Тук избираме три места от осем и редът, по който правим това, не е важен. Това е комбинация и има общо ° С(8,3) = 56 начина за изпълнение на тази стъпка. Останалите пет букви могат да бъдат подредени в 5! = 120 начина. Това дава общо 56 x 120 = 6720 договорености.
8. Колко различни начина могат да бъдат подредени буквите на думата TRIANGLE, ако редът на гласните IAE може да бъде променен, въпреки че тяхното разположение може да не е възможно?
   Решение: Това наистина е същото като №4 по-горе, но с различни букви. Подреждаме три букви по 3! = 6 начина и останалите пет букви в 5! = 120 начина. Общият брой начините за тази подредба е 6 x 120 = 720.
9. По колко различни начина могат да се подредят шест букви на думата TRIANGLE?
   Решение: Тъй като говорим за аранжимент, това е пермутация и има общо P( 8, 6) = 8!/2! = 20 160 начини.
10. Колко различни начина могат да бъдат подредени шест букви на думата TRIANGLE, ако трябва да има равен брой гласни и съгласни?
    Решение: Има само един начин да подберем гласните, които ще поставим. Изборът на съгласни може да се направи в ° С(5, 3) = 10 начина. След това има 6! начини за подреждане на шестте букви. Умножете тези числа заедно за резултата от 7200.
11. Колко различни начина могат да бъдат подредени шест букви на думата TRIANGLE, ако трябва да има поне един съгласен?
    Решение: Всяка подредба от шест букви удовлетворява условията, така че има P(8, 6) = 20 160 начини.
12. Колко различни начина могат да бъдат подредени шест букви на думата TRIANGLE, ако гласните трябва да се редуват с съгласни?
    Решение: Има две възможности, първата буква е гласна или първата буква е съгласна. Ако първата буква е гласна, имаме три варианта, последвани от пет за съгласна, две за втора гласна, четири за втора съгласна, една за последната гласна и три за последната съгласна. Умножаваме това, за да получим 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Чрез аргументите на симетрията има същия брой подреждания, които започват с съгласна. Това дава общо 720 договорености.
13. Колко различни набора от четири букви могат да се образуват от думата TRIANGLE?
    Решение: Тъй като говорим за a комплект от четири писма от общо осем, редът не е важен. Трябва да изчислим комбинацията ° С(8, 4) = 70.
14. Колко различни набора от четири букви могат да се образуват от думата TRIANGLE, която има две гласни и две съгласни?
    Решение: Тук оформяме нашия набор от две стъпки. Има ° С(3, 2) = 3 начина за избор на два гласни от общо 3. Има ° С(5, 2) = 10 начина за избор на съгласни от петте налични. Това дава общо 3x10 = 30 възможни комплекта.
15. Колко различни набора от четири букви могат да се образуват от думата TRIANGLE, ако искаме поне една гласна?
    Решение: Това може да се изчисли по следния начин:

• Броят на множествата от четири с една гласна е ° С(3, 1) х ° С( 5, 3) = 30.
• Броят на множествата от четири с две гласни е ° С(3, 2) х ° С( 5, 2) = 30.
• Броят на групи от четири с три гласни е ° С(3, 3) х ° С( 5, 1) = 5.

Това дава общо 65 различни набора. Като алтернатива можем да изчислим, че има 70 начина за формиране на набор от всякакви четири букви и изваждане на ° С(5, 4) = 5 начина за получаване на набор без гласни.