Въведение в кривата на камбаната

Нормалното разпределение е по-известно като крива на звънеца. Този тип крива се показва през целия период статистика и реалния свят.

Например, след като дам тест в който и да е от моите класове, едно нещо, което обичам да правя, е да направя графика на всички резултати. Обикновено записвам 10-точкови диапазони като 60-69, 70-79 и 80-89, след което поставям приблизително знак за всеки тестов резултат в този диапазон. Почти всеки път, когато правя това, се появява позната форма. Няколко студенти направи много добре, а няколко се справят много зле. Един куп резултати в крайна сметка се спъват около средната оценка. Различните тестове могат да доведат до различни средства и стандартни отклонения, но формата на графиката е почти винаги една и съща. Тази форма обикновено се нарича кривата на камбаната.

Защо го наричаме крива на камбана? Кривата на камбаната получава името си доста просто, защото формата си прилича на тази на камбана. Тези криви се появяват по време на цялото проучване на статистиката и тяхното значение не може да се преоценява.

За да бъдем технически, видовете криви на звънеца, които ни интересуват най-много в статистиката, всъщност се наричат ​​нормални вероятностни разпределения. За това, което следва, просто ще приемем, че кривите на звънеца, за които говорим, са нормални разпределения на вероятностите. Въпреки наименованието „крива на звънеца“, тези криви не се определят от формата им. Вместо това, плашещо изглежда формула се използва като формално определение за кривите на звънеца.

Но наистина не е нужно да се притесняваме твърде много за формулата. Единствените две числа, които ни интересуват в него, са средното и стандартното отклонение. Кривата на звънеца за даден набор от данни има центъра, разположен на средната стойност. Тук се намира най-високата точка на кривата или „върха на камбаната“. Стандартното отклонение от набора от данни определя колко е разпространена нашата крива на звънеца. Колкото по-голямо е стандартното отклонение, толкова повече се разширява кривата.

Има няколко характеристики на кривите на звънеца, които са важни и ги отличава от другите криви в статистиката:

• Кривата на звънеца има един режим, който съвпада със средната и средната. Това е центърът на кривата там, където е най-висок.
• Крива на камбана е симетрична. Ако беше сгъната по вертикална линия средно, двете половини биха съвпадали идеално, защото са огледални изображения една на друга.
• Крива на камбана следва правилото 68-95-99.7, което предоставя удобен начин за извършване на прогнозни изчисления:
  • Приблизително 68% от всички данни се намират в рамките на едно стандартно отклонение от средната стойност.
  • Приблизително 95% от всички данни са в рамките на две стандартни отклонения от средната стойност.
  • Приблизително 99,7% от данните са в рамките на три стандартни отклонения от средната стойност.

Ако знаем, че крива на камбана моделира нашите данни, можем да използваме горните характеристики на кривата на звънеца, за да кажем доста малко. Да се ​​върнем към тестовия пример, да предположим, че имаме 100 студенти, които взеха статистически тест със средна оценка 70 и стандартно отклонение 10.

Стандартното отклонение е 10. Извадете и добавете 10 към средното. Това ни дава 60 и 80. По правило 68-95-99.7 бихме очаквали около 68% от 100, или 68 ученици да получат оценка между 60 и 80 на теста.

Два пъти стандартното отклонение е 20. Ако извадим и добавим 20 към средното, имаме 50 и 90. Очакваме около 95% от 100, или 95 ученици да получат оценка между 50 и 90 на теста.

Подобно изчисление ни казва, че ефективно всеки е отбелязал между 40 и 100 на теста.

Има много приложения за криви на звънеца. Те са важни в статистиката, защото моделират голямо разнообразие от реални данни. Както бе споменато по-горе, резултатите от тестовете са едно място, където се появяват. Ето някои други:

• Многократни измервания на част от оборудването
• Измервания на характеристиките в биологията
• Приблизителни случайни събития като прелитане на монета няколко пъти
• Височини на учениците на определено ниво в училищен район

Въпреки че има безброй приложения на криви на звънеца, не е подходящо да се използва във всички ситуации. Някои статистически набори от данни, като повреда на оборудването или разпределение на доходите, имат различни форми и не са симетрични. Друг път може да има два или повече режима, например когато няколко ученици се справят много добре, а няколко правят много лошо на тест. Тези приложения изискват използването на други криви, които са дефинирани по различен начин от кривата на звънеца. Знанието за това как е получен въпросният набор от данни може да помогне да се определи дали кривата на звънеца трябва да се използва за представяне на данните или не.