Какво е отрицателното биномиално разпределение?

Отрицателното биномиално разпределение е a разпределение на вероятността който се използва с дискретни случайни променливи. Този тип разпространение се отнася до броя на изпитванията, които трябва да се извършат, за да има предварително определен брой успехи. Както ще видим, отрицателното биномиално разпределение е свързано с биномиално разпределение. В допълнение, това разпределение обобщава геометричното разпределение.

Ще започнем с разглеждане както на настройката, така и на условията, които пораждат отрицателно биномиално разпределение. Много от тези състояния са много подобни на биномиална настройка.

1. Имаме експеримент с Бернули. Това означава, че всяко изпитание, което провеждаме, има добре дефиниран успех и неуспех и това са единствените резултати.
2. Вероятността за успех е постоянна, независимо колко пъти провеждаме експеримента. Ние обозначаваме тази постоянна вероятност с a стр.
3. Експериментът се повтаря за х независими изпитвания, което означава, че резултатът от едно изпитване няма ефект върху резултата от последващо изпитване.

Тези три условия са идентични на тези при биномиално разпределение. Разликата е, че биномиалната случайна променлива има фиксиран брой изпитвания н. Единствените стойности на х са 0, 1, 2,..., н, така че това е ограничено разпределение.

Отрицателното биномично разпределение е свързано с броя на изпитванията х това трябва да се случи, докато нямаме R успехи. Броя R е цяло число, което избираме, преди да започнем да извършваме нашите опити. Случайната променлива х все още е дискретен. Въпреки това, сега случайната променлива може да приеме стойности на X = r, r + 1, r + 2,... Тази случайна променлива е безкрайно безкрайна, тъй като може да отнеме произволно дълго време, преди да получим R успехи.

За да помогнете за осмислянето на отрицателно биномиално разпределение, си струва да разгледаме пример. Да предположим, че обърнем честна монета и си задаваме въпроса „Каква е вероятността да получим три глави в първата х монета се обръща? “Това е ситуация, която изисква отрицателно биномично разпределение.

Монетите обръщат два възможни резултата, вероятността за успех е постоянна 1/2, а изпитанията те са независими една от друга. Молим за вероятността да получим първите три глави след х монети обръща. По този начин трябва да обърнем монетата поне три пъти. След това продължаваме да прелиствате, докато се появи третата глава.

За да изчислим вероятностите, свързани с отрицателно биномиално разпределение, се нуждаем от още информация. Трябва да знаем функцията на вероятностната маса.

Функцията на вероятностната маса за отрицателно биномично разпределение може да се развие с малко мисли. Всеки опит има вероятност за успех, дадена от стр. Тъй като има само два възможни резултата, това означава, че вероятността за неуспех е постоянна (1 - р ).

Най- Rуспехът трябва да се случи за хи последен съдебен процес. Предишният х - 1 опит трябва да съдържа точно r - 1 успехи. Броят на начините, по които това може да се случи, се определя от броя на комбинациите:

° С(х - 1, R -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

В допълнение към това имаме независими събития и така можем да умножим своите вероятности заедно. Събирайки всичко това заедно, получаваме функцията на вероятностната маса

е(х) = C (х - 1, R -1) р^R(1 - р)^{х - r}.

Вече сме в състояние да разберем защо тази случайна променлива има отрицателно биномиално разпределение. Броят на комбинациите, които срещнахме по-горе, може да бъде написан по различен начин чрез настройка x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! к!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /к! = (-1)^к(-r) (- r - 1).. . (- r - (k + 1) / k !.

Тук виждаме появата на отрицателен биномиален коефициент, който се използва, когато повишим биномиален израз (a + b) до отрицателна сила.

Средната стойност на разпределението е важно да се знае, защото това е един от начините да се обозначи центърът на разпределението. Средната стойност на този тип случайна променлива се определя от очакваната й стойност и е равна на R / р. Можем да докажем това внимателно, като използваме функция за генериране на момент за това разпределение.

Интуицията ни насочва и към този израз. Да предположим, че извършваме поредица от опити н₁ докато получим R успехи. И тогава правим това отново, само този път е необходимо н₂ изпитвания. Продължаваме това отново и отново, докато не имаме голям брой групи изпитания н = н₁ + н₂ +... +н_к.

Всяко от тях к изпитвания съдържа R успехи и затова имаме общо KR успехи. ако н е голям, тогава бихме очаквали да видим Np успехи. По този начин ние ги приравняваме заедно и имаме kr = Np.

Правим някаква алгебра и намираме това N / k = r / p. Делът от лявата страна на това уравнение е средният брой изпитвания, необходими за всяко от нашите к групи от изпитания. С други думи, това е очакваният брой пъти да извършим експеримента, така че да имаме общо R успехи. Това е точно очакването, което искаме да намерим. Виждаме, че това е равно на формулата r / p.

Вариантът на отрицателното биномиално разпределение също може да се изчисли, като се използва функцията за генериране на момент. Когато правим това, виждаме, че дисперсията на това разпределение се дава по следната формула:

r (1 - р)/р²

Функцията за генериране на момент за този тип случайна променлива е доста сложна. Спомнете си, че функцията за генериране на момент е определена като очакваната стойност E [e^TX]. Използвайки това определение с нашата вероятностна маса функция, имаме:

M (t) = E [e^TX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] Д^TXр^R(1 - р)^{х - r}

След някаква алгебра това става M (t) = (pe)^T)^R[1- (1- p) e^T]^-r

Видяхме по-горе как отрицателното разпределение на биноми е много подобно на биномичното разпределение. В допълнение към тази връзка отрицателното биномиално разпределение е по-обща версия на геометрично разпределение.

Геометрична случайна променлива х отчита броя на изпитванията, необходими преди настъпването на първия успех. Лесно е да се види, че това е точно отрицателното биномиално разпределение, но с R равен на един.

Съществуват и други състави на отрицателното биномично разпределение. Някои учебници определят х да бъде броят на изпитванията до R възникват провали.

Ще разгледаме примерен проблем, за да видим как да работим с отрицателното биномиално разпределение. Да предположим, че баскетболист е 80% стрелец на свободно хвърляне. Освен това, приемете, че извършването на едно свободно хвърляне не зависи от следващото. Каква е вероятността за този играч осмият кош да бъде направен на десетото свободно хвърляне?

Виждаме, че имаме настройка за отрицателно биномично разпределение. Постоянната вероятност за успех е 0,8 и затова вероятността за неуспех е 0,2. Искаме да определим вероятността от X = 10, когато r = 8.

Ние включваме тези стойности в нашата функция на вероятностната маса:

f (10) = С (10 -1, 8 - 1) (0.8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², което е приблизително 24%.

След това бихме могли да попитаме какъв е средният брой изстрели на свободни хвърляния, преди този играч да направи осем от тях. Тъй като очакваната стойност е 8 / 0.8 = 10, това е броят на изстрелите.