Ако помолихте някой да назове любимата му математическа константа, вероятно ще получите някакви въпросителни погледи. След известно време някой може да подаде доброволно, че най-добрата константа е пи. Но това не е единствената важна математическа константа. Близка секунда, ако не претендент за короната на най-повсеместната константа е д. Това число се показва в смятане, теория на числата, вероятност и статистика. Ще разгледаме някои от характеристиките на това забележително число и ще видим какви връзки има той със статистиката и вероятността.
Стойност на д
Като пи, д е ирационален реално число. Това означава, че не може да се запише като дроб и че десетичното му разширение продължава вечно, без повтарящ се блок от числа, който непрекъснато се повтаря. Броя д също е трансцендентален, което означава, че не е коренът на ненулев полином с рационални коефициенти. Първите петдесет знака след десетичната запетая са дадени от д = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Определение на д
Броя д беше открит от хора, които се интересуваха от сложен интерес. При тази форма на лихва главницата печели лихва и след това генерираната лихва печели лихва върху себе си. Беше забелязано, че колкото по-голяма е честотата на периодите на комбиниране годишно, толкова по-голяма е количеството на генерираните лихви. Например, можем да разгледаме, че интересът е сложен:
- Ежегодно или веднъж годишно
- Полуседмично или два пъти годишно
- Месечно или 12 пъти годишно
- Ежедневно или 365 пъти в годината
Общият размер на лихвата се увеличава за всеки от тези случаи.
Възникна въпросът колко пари може да се спечелят с лихва. За да се опитаме да спечелим още повече пари, на теория бихме могли да увеличим броя на периодите на смесване до толкова, колкото искахме. Крайният резултат от това увеличение е, че ние ще считаме, че лихвата се засилва непрекъснато.
Докато генерираният интерес се увеличава, това става много бавно. Общата сума пари в сметката всъщност се стабилизира и стойността, до която се стабилизира, е д. За да изразим това с помощта на математическа формула, казваме, че границата като н увеличения на (1 + 1 /н)н = д.
Използване на д
Броя д показва в цялата математика. Ето няколко от местата, където той се появява:
- Той е основата на естествения логаритъм. Откакто Напиер измисли логаритми, д понякога се нарича константа на Напиер.
- При смятане, експоненциалната функция дх има уникалното свойство да бъде свое производно.
- Израз, включващ дх и д-х комбинират се, за да образуват хиперболичния синус и хиперболичния косинус.
- Благодарение на работата на Ойлер знаем, че основните формули на математиката са взаимно свързани с формулата дiΠ + 1 = 0, където аз е въображаемото число, което е квадратният корен на отрицателния.
- Броя д се появява в различни формули в математиката, особено в областта на теорията на числата.
Стойността д в статистиката
Значението на броя д не се ограничава само до няколко области на математиката. Има и няколко употреби на номера д в статистиката и вероятността. Някои от тях са следните:
- Броя д прави поява в формула за гама функцията.
- Формулите за стандартно нормално разпределение включва д до отрицателна сила. Тази формула включва и пи.
- Много други дистрибуции включват използването на номера д. Например, формулите за t-разпределението, гама-разпределението и чи-квадратното разпределение съдържат числото д.