Какво е стандартното нормално разпределение в статистиката?

Криви на звънеца показват се в цялата статистика. Различните измервания като диаметър на семената, дължина на рибните перки, оценки по SAT и теглата на отделните листове от бутон хартия, всички формират звънчеви криви, когато са захванати. Общата форма на всички тези криви е една и съща. Но всички тези криви са различни, защото е много малко вероятно някоя от тях да има същото средно или стандартно отклонение. Кривите на звънеца с големи стандартни отклонения са широки, а звънечните криви с малки стандартни отклонения са кльощави. Кривите на звънеца с по-големи средства са изместени повече вдясно, отколкото тези с по-малки средства.

За да направим това малко по-конкретно, нека се преструваме, че измерваме диаметрите на 500 ядки царевица. След това записваме, анализираме и графицираме тези данни. Установено е, че наборът от данни е оформен като звънец и има средна стойност 1,2 cm със стандартно отклонение от .4 cm. Сега да предположим, че правим същото с 500 фасула и установяваме, че те имат среден диаметър от .8 cm със стандартно отклонение от .04 cm.

Кривите на звънеца от двата тези набора от данни са изобразени по-горе. Червената крива съответства на данните за царевицата, а зелената крива съответства на данните за боба. Както виждаме, центровете и разпространенията на тези две криви са различни.

Това очевидно са две различни криви на звънеца. Те са различни, защото техните средства и стандартни отклонения не съвпадат Тъй като всеки интересен набор от данни, на който се натъкваме, може да има всяко положително число като стандартно отклонение и всяко число за средно, ние наистина просто надраскваме повърхността на безкраен брой криви на звънеца. Това е много криви и твърде много, за да се справим. Какво е решението?

Една цел на математиката е да се обобщават нещата, когато е възможно. Понякога няколко индивидуални проблема са специални случаи на един проблем. Тази ситуация, включваща криви на звънеца, е чудесна илюстрация за това. Вместо да се занимаваме с безкраен брой криви на звънеца, можем да свържем всички тях с една крива. Тази специална крива на звънеца се нарича стандартна крива на звънеца или стандартно нормално разпределение.

Стандартната крива на звънеца има средно нула и стандартно отклонение от една. Всяка друга крива на звънеца може да се сравни с този стандарт с помощта на a направо изчисление.

Всички свойства на всяка крива на звънеца притежават за стандартното нормално разпределение.

• Стандартното нормално разпределение има не само средна стойност нула, но също така и средна стойност и режим на нула. Това е центърът на кривата.
• Стандартното нормално разпределение показва огледална симетрия при нула. Половината от кривата е отляво от нулата, а половината от кривата е отдясно. Ако кривата беше сгъната по вертикална линия на нула, двете половини щяха да съвпадат идеално.
• Стандартното нормално разпределение следва правилото 68-95-99.7, което ни дава лесен начин да оценим следното:
  • Приблизително 68% от всички данни са между -1 и 1.
  • Приблизително 95% от всички данни са между -2 и 2.
  • Приблизително 99,7% от всички данни са между -3 и 3.

В този момент може да се запитаме: „Защо да се притесняваме със стандартна крива на звънеца?“ Може да изглежда ненужно усложнение, но стандартната крива на камбаната ще бъде от полза, докато продължаваме в статистиката.

Ще открием, че един тип проблем в статистиката изисква да намерим области под части от всяка крива на камбана, която срещаме. Кривата на камбаната не е приятна форма за райони. Не е като правоъгълник или десен триъгълник които са лесни формули за площ. Намирането на райони на части от кривата на камбаната може да бъде сложно, всъщност толкова трудно, че ще трябва да използваме някакво смятане. Ако не стандартизираме кривите на звънеца, ще трябва да правим някакво смятане всеки път, когато искаме да намерим област. Ако стандартизираме кривите си, цялата работа по изчисляване на площите е свършена за нас.