Използвайте условната вероятност за изчисляване на пресечните точки

Най- условна вероятност на събитие е вероятността а събитиеА възниква предвид това друго събитие B вече се е случило. Този тип вероятност се изчислява чрез ограничаване на примерно пространство с които работим само за множеството B.

Формулата за условна вероятност може да бъде пренаписана с помощта на някаква основна алгебра. Вместо формулата:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B),

умножаваме и двете страни по P (B) и да получите еквивалентната формула:

P (A | B) х P (B) = P (A ∩ B).

След това можем да използваме тази формула, за да намерим вероятността да възникнат две събития, като използваме условната вероятност.

Тази версия на формулата е най-полезна, когато знаем условната вероятност за А даден B както и вероятността от събитието B. Ако това е така, тогава можем да изчислим вероятността за пресичане на А даден B като просто умножим две други вероятности. Вероятността за пресичане на две събития е важно число, защото е вероятността да се случат и двете събития.

Да предположим, че за първия ни пример знаем следните стойности за вероятностите:

Докато горният пример показва как работи формулата, тя може да не е най-осветената по отношение на това колко полезна е горната формула. Така че ще разгледаме друг пример. Има гимназия с 400 ученици, от които 120 са мъже и 280 са жени. От мъжете 60% в момента са записани в курс по математика. 80% от жените в момента са записани в курс по математика. Каква е вероятността случайно избран ученик да е жена, която е записана в курс по математика?

Тук нека F обозначават събитието „Избраният ученик е жена” и М събитието „Избраният ученик е записан в курс по математика.“ Трябва да определим вероятността от пресечната точка на тези две събития, или P (M ∩ F).

Горната формула ни показва това P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). Вероятността да бъде избрана женска е P (F) = 280/400 = 70%. Условната вероятност избраният ученик да бъде записан в курс по математика, като се има предвид, че е избрана женска е P (M | F) = 80%. Умножаваме тези вероятности заедно и виждаме, че имаме 80% х 70% = 56% вероятност да изберем студентка, която е записана в курс по математика.

Горната формула, свързана с условната вероятност и вероятността от пресичане, ни дава лесен начин да разберем дали имаме работа с две независими събития. От събитията А и B са независими, ако P (A | B) = P (A), от горната формула следва, че събитията А и B са независими, ако и само ако:

P (A) x P (B) = P (A ∩ B)

Така че, ако знаем това P (A) = 0.5, P (B) = 0,6 и P (A ∩ B) = 0,2, без да знаем нищо друго, можем да определим, че тези събития не са независими. Знаем това, защото P (A) x P (B) = 0,5 х 0,6 = 0,3. Това не е вероятността от пресичането на А и B.