От теорията могат да се изведат няколко теореми аксиоми на вероятността. Тези теореми могат да бъдат приложени за изчисляване на вероятности, които може би желаем да знаем. Един такъв резултат е известен като правило за допълване. Това твърдение ни позволява да изчислим вероятността за събитиеА като знаем вероятността на комплемента А° С. След като посочим правилото за допълване, ще видим как може да се докаже този резултат.
Правилото за допълване
Допълнението на събитието А се обозначава с А° С. Допълнението на А е комплект на всички елементи от универсалния комплект, или примерно пространство S, които не са елементи от множеството А.
Правилото за допълване се изразява със следното уравнение:
P (А° С) = 1 - P (А)
Тук виждаме, че вероятността за дадено събитие и вероятността за неговото допълване трябва да са равняващи се на 1.
Доказателство за правилото за допълване
За да докажем правилото за допълване, започваме с аксиомите на вероятността. Тези твърдения се приемат без доказателство. Ще видим, че те могат систематично да се използват за доказване на нашето твърдение относно вероятността от допълване на дадено събитие.
- Първата аксиома на вероятността е, че вероятността на всяко събитие е неотрицателна реално число.
- Втората аксиома на вероятността е, че вероятността за цялото пробно пространство С е едно. Символично пишем P (С) = 1.
- Третата аксиома на вероятността гласи, че If А и B са взаимно изключващи се (което означава, че имат празно пресичане), тогава заявяваме вероятността от обединение на тези събития като P (А U B ) = P (А) + P (B).
За правилото за допълване няма да е необходимо да използваме първата аксиома в горния списък.
За да докажем нашето твърдение, ние считаме събитията Аи А° С. От теорията на множествата знаем, че тези две множества имат празно пресичане. Това е така, защото един елемент не може едновременно да бъде и в двете А а не вътре А. Тъй като има празно кръстовище, тези две групи са взаимно изключващи се.
Съединението на двете събития А и А° С също са важни. Те представляват изчерпателни събития, което означава, че съюз от тези събития е цялото примерно пространство С.
Тези факти в комбинация с аксиомите ни дават уравнението
1 = P (С) = P (А U А° С) = P (А) + P (А° С) .
Първото равенство се дължи на втората вероятностна аксиома. Второто равенство е, защото събитията А и А° С са изчерпателни. Третото равенство е заради третата вероятностна аксиома.
Горното уравнение може да се пренареди във формата, която посочихме по-горе. Всичко, което трябва да направим, е да извадим вероятността от А от двете страни на уравнението. Поради това
1 = P (А) + P (А° С)
става уравнението
P (А° С) = 1 - P (А).
Разбира се, бихме могли да изразим правилото, като заявим, че:
P (А) = 1 - P (А° С).
И трите тези уравнения са равностойни начини да се каже едно и също нещо. От това доказателство виждаме как само две аксиоми и някаква теория на множествата изминават дълъг път, за да ни помогнат да докажем нови твърдения относно вероятността.