Функция за генериране на момент за биномиално разпределение

Средната и дисперсията на произволна променлива х с биномиално разпределение на вероятността може да бъде трудно да се изчисли директно. Въпреки че може да е ясно какво трябва да се направи при използване на дефиницията на очакваната стойност на х и х², реалното изпълнение на тези стъпки е сложно жонглиране на алгебра и обобщения. Алтернативен начин за определяне на средната стойност и отклонението на a биномиално разпределение е да се използва функция за генериране на момент за х.

Започнете с произволната променлива х и опишете разпределение на вероятността по-специално. Изпълнете н независими изпитания на Бернули, всяко от които има вероятност за успех р и вероятност за отказ 1 - р. Така функцията на вероятностната маса е

е (х) = ° С(н, х)р^х(1 – р)^{н - х}

Тук терминът ° С(н, х) обозначава броя на комбинациите от н взети елементи х в даден момент и х може да приеме стойностите 0, 1, 2, 3,..., н.

Използвайте тази функция на вероятностната маса, за да получите функция за генериране на момент на х:

М(T) = Σ_{х = 0}^нд^TX° С(н,х)>)р^х(1 – р)^{н - х}.

Става ясно, че можете да комбинирате термините с показател на х:

М(T) = Σ_{х = 0}^н (ЕЖ^T)^х° С(н,х)>)(1 – р)^{н - х}.

Освен това, използвайки биномиалната формула, горният израз е просто:

М(T) = [(1 – р) + ЕЖ^T]^н.

За да се намери означава и вариация, ще трябва да знаете и двете М(0) и М’’(0). Започнете с изчисляването на вашите производни и след това оценете всеки от тях на T = 0.

Ще видите, че първата производна на функцията за генериране на момент е:

М’(T) = н(ЕЖ^T)[(1 – р) + ЕЖ^T]^{н - 1}.

От това можете да изчислите средната стойност на разпределението на вероятността. М(0) = н(ЕЖ⁰)[(1 – р) + ЕЖ⁰]^{н - 1} = NP. Това съвпада с израза, който получихме директно от определението на средната.

Изчисляването на дисперсията се извършва по подобен начин. Първо, диференцираме функцията, генерираща момента, и след това оценяваме това производно при T = 0. Тук ще видите това

М’’(T) = н(н - 1)(ЕЖ^T)²[(1 – р) + ЕЖ^T]^{н - 2} + н(ЕЖ^T)[(1 – р) + ЕЖ^T]^{н - 1}.

За да изчислите дисперсията на тази случайна променлива, която трябва да намерите М’’(T). Тук имате М’’(0) = н(н - 1)р² +NP. Отклонението σ² на вашето разпространение е

σ² = М’’(0) – [М’(0)]² = н(н - 1)р² +NP - (NP)² = NP(1 - р).

Въпреки че този метод е донякъде ангажиран, той не е толкова сложен, колкото изчисляването на средната стойност и отклонението директно от функцията на вероятностната маса.