Какви са моментите в статистиката?

Моментите в математическата статистика включват основно изчисление. Тези изчисления могат да бъдат използвани за намиране на средна стойност, дисперсия и косост на разпределението на вероятностите.

Да предположим, че имаме набор от данни с общо нотделен точки. Едно важно изчисление, което всъщност е няколко числа, се нарича the смиг. Най- сth момент на набора от данни със стойности х₁, х₂, х₃,..., х_н се дава по формулата:

(х₁^с + х₂^с + х₃^с +... + х_н^с)/н

Използването на тази формула изисква да сме внимателни с реда си на операции. Първо трябва да направим показателите, да добавим и след това да разделим тази сума на н общият брой стойности на данните.

Терминът момент е взето от физиката. Във физиката моментът на система от точкови маси се изчислява с формула, идентична на тази по-горе, и тази формула се използва за намиране на центъра на масата на точките. В статистиката стойностите вече не са маси, но както ще видим, моментите в статистиката все още измерват нещо относително към центъра на стойностите.

За първия момент си поставихме с = 1. Формулата за първия момент е следователно:

(х₁х₂ + х₃ +... + х_н)/н

Това е идентично с формулата за пробата означава.

Първият момент на стойностите 1, 3, 6, 10 е (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.

За втория момент си поставихме с = 2. Формулата за втория момент е:

(х₁² + х₂² + х₃² +... + х_н²)/н

Вторият момент на стойностите 1, 3, 6, 10 е (1² + 3² + 6² + 10²) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.

За третия момент си поставихме с = 3. Формулата за третия момент е:

(х₁³ + х₂³ + х₃³ +... + х_н³)/н

Третият момент на стойностите 1, 3, 6, 10 е (1³ + 3³ + 6³ + 10³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.

По-високите моменти могат да бъдат изчислени по подобен начин. Просто заменете с в горната формула с числото, обозначаващо желания момент.

Свързана идея е тази на смиг за средното. В това изчисление изпълняваме следните стъпки:

1. Първо, изчислете средната стойност на стойностите.
2. След това извадете това средно от всяка стойност.
3. След това повдигнете всяка от тези разлики до сth мощност.
4. Сега добавете числата от стъпка # 3 заедно.
5. И накрая, разделете тази сума на броя стойности, с които започнахме.

Формулата за смиг за средното m от стойностите на стойностите х₁, х₂, х₃,..., х_н се дава от:

m_с = ((х₁ - m)^с + (х₂ - m)^с + (х₃ - m)^с +... + (х_н - m)^с)/н

Първият момент за средната стойност винаги е равен на нула, без значение какъв набор от данни е, с който работим. Това може да се види в следното:

m₁ = ((х₁ - m) + (х₂ - m) + (х₃ - m) +... + (х_н - m))/н = ((х₁+ х₂ + х₃ +... + х_н) - нм)/н = m - m = 0.

Вторият момент за средната стойност се получава от горната формула чрез настройкас = 2:

m₂ = ((х₁ - m)² + (х₂ - m)² + (х₃ - m)² +... + (х_н - m)²)/н

Тази формула е еквивалентна на тази за пробата на пробата.

Например, помислете за набор 1, 3, 6, 10. Вече изчислихме средната стойност на този набор да бъде 5. Извадете това от всяка от стойностите на данните, за да получите разлики от:

• 1 – 5 = -4
• 3 – 5 = -2
• 6 – 5 = 1
• 10 – 5 = 5

Квадратираме всяка от тези стойности и ги добавяме заедно: (-4)² + (-2)² + 1² + 5² = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Накрая разделете това число на броя точки от данни: 46/4 = 11.5

Както бе споменато по-горе, първият момент е средният, а вторият момент за средната е пробата промяна. Карл Пиърсън въведе използването на третия момент за средната стойност при изчисляването асиметрия и четвъртият момент за средната стойност при изчисляването на ексцес.