Вероятността за преобръщане на яхтзее

Yahtzee е игра с зарове, включваща комбинация от шанс и стратегия. Играч започва своя ред, като хвърля пет зарчета. След тази ролка, играчът може да реши да прехвърли произволен брой зарове. Най-много има общо три ролки за всеки завой. След тези три рула резултатът от заровете се въвежда в лист с резултати. Този лист с резултати съдържа различни категории, като например пълна къща или голям прав. Всяка от категориите се задоволява с различни комбинации от зарове.

Най-трудната категория за попълване е тази на Yahtzee. Yahtzee възниква, когато играч хвърли пет от едно и също число. Колко малко вероятно е Yahtzee? Това е проблем, който е много по-сложен от намирането на вероятности две или дори три зарчета. Основната причина е, че има много начини да се получат пет съвпадащи зарчета по време на три ролки.

Можем да изчислим вероятността за преобръщане на Yahtzee, като използваме формулата на комбинаториката за комбинации и като разделим проблема на няколко взаимно изключващи се случаи.

Най-лесният случай за разглеждане е получаването на Yahtzee веднага на първата ролка. Първо ще разгледаме вероятност на търкалянето на определен Yahtzee от пет двойки, а след това лесно разширявайте това до вероятността на който и да е Yahtzee.

Вероятността да се търкаля двама е 1/6, а резултатът от всяка матрица е независим от останалите. По този начин вероятността да се търкалят пет двойки е (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Вероятността да се търкалят пет от един вид на всяко друго число също е 1/7776. Тъй като на матрицата има общо шест различни числа, умножаваме горната вероятност с 6.

Това означава, че вероятността от яхтзее на първото руло е 6 х 1/7776 = 1/1296 = 0,08 процента.

Ако разточим нещо различно от пет от един вид от първото руло, ще трябва да пренавием част от заровете си, за да се опитаме да вземем Yahtzee. Да предположим, че първата ни ролка има четири вида. бихме пренавилили едната матрица, която не съвпада, и след това ще получим Yahtzee на тази втора ролка.

Вероятността да се търкалят общо пет двойки по този начин се установява, както следва:

1. На първата ролка имаме четири двойки. Тъй като има вероятност 1/6 от търкаляне на две и 5/6 да не се търкалят две, умножаваме (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Някой от петте зарове на руло може да са не-двамата. Използваме нашата комбинирана формула за C (5, 1) = 5, за да преброим колко начина можем да превъртим четири двойки и нещо, което не е две.
3. Умножаваме и виждаме, че вероятността да се търкалят точно четири двойки на първата ролка е 25/7776.
4. Във втората ролка трябва да изчислим вероятността да се търкаля едно две. Това е 1/6. По този начин вероятността да се търкаля един Yahtzee на двойки по горния начин е (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

По този начин се открива вероятността да се търкаля всеки Yahtzee, като умножим горната вероятност с 6, защото има шест различни числа на матрица. Това дава вероятност от 6 х 25/46656 = 0,32 процента.

Но това не е единственият начин да се търкаля един Yahtzee с две ролки. Всички по-долу вероятности се намират по почти същия начин като по-горе:

• Бихме могли да хвърлим три вида, а след това две зарчета, които съответстват на втората ни ролка. Вероятността за това е 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 процента.
• Бихме могли да хвърлим съвпадна двойка, а на втората ни ролка три зарчета, които съответстват. Вероятността за това е 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 процента.
• Бихме могли да хвърлим пет различни зарчета, освен една матрица от първата ни ролка, а след това да хвърлим четири зарчета, които съответстват на второто. Вероятността за това е (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 процента.

Горните случаи са взаимно изключващи се. Това означава, че за да изчислим вероятността за търкаляне на Yahtzee в две ролки, ние добавяме горните вероятности заедно и имаме приблизително 1,23 процента.

За най-сложната ситуация досега, сега ще разгледаме случая, при който използваме и трите ни ролки, за да получим Yahtzee. Бихме могли да направим това по няколко начина и трябва да отчитаме всички тях.

Вероятностите на тези възможности се изчисляват по-долу:

• Вероятността да се търкалят четири от един вид, а след това нищо, а след това съвпадение на последната матрица на последната ролка е 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 процента.
• Вероятността да се търкалят три от един вид, а след това нищо, а след това съвпадение с правилната двойка на последното руло е 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 процента.
• Вероятността да се търкаля съответстваща двойка, а след това нищо, а след това съвпадение с правилните три от един вид на третата ролка е 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216 ) = 0,21 процента.
• Вероятността да се търкаля единична матрица, а след това нищо не съвпада с това, а след това съвпадение с правилните четири от един вид на третата ролка е (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 процента.
• Вероятността да се търкалят три от един вид, съответстващи на допълнителна матрица при следващата ролка, последвана от съвпадение на петата матрица на третата ролка е 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 процента.
• Вероятността да се търкаля чифт, да се съпостави допълнителна двойка на следващата ролка, последвана от съвпадение петата матрица на третата ролка е 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 процента.
• Вероятността да се търкаля чифт, да се съпостави допълнителна матрица при следващата ролка, последвана от съвпадение на последните две зарчета на третото руло са 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0.74 процента.
• Вероятността да се търкаля един от рода, друг да умре, за да го съвместява на втория рол, и тогава тройка от вида на третата ролка е (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0.01 процента.
• Вероятността да се търкаля едно по рода, тройка от един вид да съвпадне на второто ролка, последвано от съвпадение на третото руло е (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 процента.
• Вероятността да се търкаля един вид, чифт, който да го съпостави на втория ролка, и след това друга двойка, която да съвпадне на третата ролка, е (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 процента.

Ние добавяме всички по-горе вероятности заедно, за да определим вероятността да се търкаля един Yahtzee в три ролки от заровете. Тази вероятност е 3,43 процента.

Вероятността на Yahtzee в една ролка е 0,08 процента, вероятността за Yahtzee в две ролки е 1,23 процента, а вероятността за Yahtzee в три ролки е 3,43 процента. Тъй като всяко от тях е взаимно изключващо се, ние добавяме вероятностите заедно. Това означава, че вероятността да получите Yahtzee в даден завой е приблизително 4.74 процента. За да направим това перспективно, тъй като 1/21 е приблизително 4,74 процента, случайно един играч трябва да очаква Yahtzee веднъж на всеки 21 оборота. На практика може да отнеме повече време, тъй като първоначалната двойка може да бъде изхвърлена, за да се търкаля за нещо друго, като например направо.